ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

25. Импульс тела

Если в задаче требуется найти изменение импульса тела, необходимо сделать чертеж, на котором геометрическим построением определить на­правление вектора изменения импульса.

Средний уровень:

Б1.(372С) Обладает ли импульсом однородный диск, вращаю­щийся вокруг своей оси? Ось диска неподвижна.

Б2.(89Т) Как ослабляют силу удара тяжелого мяча, ловя его ру­ками?

Б3.(90Т) С высокого обрыва безопаснее прыгать в рыхлую песчаную насыпь, чем на твердую почву. Почему?

Б4.(123Т) При прополке посевов вручную сорняки не следует выдер­гивать из земли слишком быстро. Почему?

Б5. Движение материальной точки описывается уравнением: х = 5 – 8t+ 4t². Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс че­рез 2 с и через 4 с после начала отсчета времени.

Б6. С какой скоростью должна лететь хоккейная шайба массой 160 г, чтобы ее импульс был равен импульсу пули массой 8 г, летящей со скоростью 600 м/с?

Б7. Движение материальной точки описывается уравнением: х = 20 + 2t - t². Приняв ее массу равной 4 кг, найти импульс че­рез 1 с и через 4 с после начала отсчета времени.

Б8. Два тела одинакового объема, стальное и свинцовое, движутся с одинаковыми скоростями. Импульс какого тела больше и во сколько раз?

Б9. С какой силой действует молоток массой 0,5 кг на гвоздь во время удара, если скорость молотка перед ударом 2 м/с? Счи­тайте, что удар длился 0,01 с.

Б10. Стальной шар движется со скоростью 1 м/с, а алюминиевый шар такого же радиуса — со скоростью 4 м/с. Какой из шаров имеет больший импульс? Во сколько раз?

Б11.(341P) Два тела одинакового объема—стальное и свинцо­вое — движутся с одинаковыми скоростями. Сравнить импуль­сы этих тел.

Б12.(342P) Поезд массой 2000 т, двигаясь прямолинейно, уве­личил скорость от 36 до 72 км/ч. Найти изменение импульса.

Б13(МГТУ3.12). Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули т = 10 г, а скорость пули при вылете из канала ствола v = 300 м/с ? Автомат делает п = 300 выстрелов в минуту.

Достаточный уровень:

В1.(121Т) Если тепловоз резко трогает с места, может произойти раз­рыв сцепления вагонов. Почему? В какой части поезда скорее всего произойдет разрыв?

В2.(386Т) Почему пуля, вылетевшая из ружья, не разбивает оконное стекло на осколки, а образует в нем круглое отверстие?

В3.(368C) Почему пуля, вылетевшая из ружья, не может отво­рить дверь, но пробивает в ней отверстие, тогда как давле­нием пальца дверь отворить легко, но проделать отверстие невозможно?

В4.(387Т) Почему человек может бежать по очень тонкому льду и не может стоять на нем, не проваливаясь?

В 5. На рисунке представлен график зависимости модуля равнодей­ствующей всех сил, действующих на тело, от времени. Чему равно изменение импульса тела через три секунды от начала движения?

В6. Тело массой 0,2 кг падает с высоты 1 м с ускорением 8 м/с². Найти изменение импульса тела.

В7. Движение материальной точки, масса которой 3 кг,

описывает­ся уравнением: х = 25 – 10t + 2t². Найдите изменение

Рис.В5 импульса тела за первые 8 с ее движения. Найдите импульс силы, вы­звавшей это изменение за это же время.

В8. Материальная точка массой 1кг равномерно движется по ок­ружности со скоростью 10 м/с. Найти изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.

В9. Стальной шарик массой 0,05 кг падает с высоты 5 м на сталь­ную плиту. После столкновения шарик отскакивает от плиты с такой же по модулю скоростью. Найдите силу, действующую на плиту при ударе, считая ее постоянной. Время соударения рав­но 0,01 с.

В10.(376C) Пловец, масса которого 100 кг, способен от­толкнуться от края бассейна с силой 2,5 кН. Какую ско­рость можно приобрести при таком толчке за 0,1 с? Почему бы не порекомендовать пловцу отталкиваться подобным об­разом в течение 0,3 с?

В11.(343P) Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площадку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найти изме­нение импульса при абсолютно неупругом и абсолютно упругом ударах. Вычислить среднюю силу, действующую на шарик во время удара, если неупругий удар длился 0,05 с, а упругий — 0,01 с.

В12.(345P) Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость. Угол падения (угол между направлением скорости и перпендикуляром к плоско­сти) равен 60°. Найти изменение импульса, если удар абсо­лютно упругий, а угол отражения равен углу падения.

В13.(6К) Водитель выключил двигатель автомобиля при скорости 72 км/ч. Через 3,4 с автомобиль остановился. Сила трения колес по ас­фальту равна 5880 Н. Чему был равен импульс автомобиля в момент выключения двигателя? Какова масса автомобиля?

В14.(381С) Платформу массой 12 кг в течение 1,5 с толкают с силой 7,9 Н, затем в течение 1,2 с — с силой 4,5 Н и, наконец, в течение 2,0 с — с силой 10 Н. Чему равно изменение скорости платформы?

В15(МГТУ3.3). Материальная точка массой т движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиусом R. Определить изменение модуля импульса |∆р| точки за: а) 1/2; б) 1/6; в) 1/4 периода; г) для произвольного значения φ угла поворота.

В16(МГТУ3.5). Тело массой т бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти приращение импульса ∆р тела за первые t секунд движения.

В17(МГТУ3.6). Тело, имеющее начальную скорость v₀, движется прямолинейно по шероховатой горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между телом и поверхностью μ. Через какое время т тело остановится?

В18(МГТУ3.13). Для проведения огневых испытаний жидкостной ракетный двигатель закрепили на стенде. С какой силой он действует на стенд, если скорость истечения продуктов сгорания из сопла равна v, а расход топлива за τ секунд составил m кг?

В19(МГТУ3.15). Тело массой т, имеющее начальную скорость v₀, попадает в вязкую среду, сила сопротивления движению тела которой пропорциональна его скорости: F = av, где а - известный коэффициент. Определить путь, пройденный телом до остановки.

Высокий уровень:

Г1. а) Метеорит сгорает в атмосфере, не достигая поверхности Зем­ли. Что происходит при этом с его импульсом ?

б) Молекула массой 5∙10 ^-26 кг, летящая со скоростью 500 м/с, упруго ударяется о стенку под углом 30° к перпендикуляру. Найти импульс силы, полученный стенкой при ударе.

Г2. а) Можно ли утверждать, что импульс тела относителен? Ответ обоснуйте.

б) Падающий вертикально шарик массой 200 г ударился об пол со скоростью 5 м/с и подпрыгнул на высоту 46 см. Найдите из­менение импульса шарика при ударе.

Г3. а) Две материальные точки равной массы движутся навстречу друг другу с равными по модулю скоростями. Чему равен им­пульс системы точек?

б) Координата тела изменяется по закону х = -6 + 3 t - 0,25 t², а импульс — по закону р_х = 12 - 2t. Найдите массу тела и дей­ствующую на него силу.

Г4. а) Камень брошен вертикально вверх. Нарисуйте график зави­симости его импульса от времени.

б) Какова средняя сила давления на плечо при стрельбе из ав­томата, если масса пули 10 г, а скорость пули при вылете из ствола 300 м/с? Число выстрелов в единицу времени 300 мин ^-1.

Г5. а) Почему пуля, вылетевшая из ружья, не может отворить дверь, но пробивает в ней отверстие, тогда как давлением пальца дверь отворить легко, но проделать отверстие невозможно.

б) Мяч массой 150 г ударяется о гладкую стенку под углом 30° к ней и отскакивает без потери скорости. Найти среднюю силу, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча 10 м/с, а продолжительность удара 0,1 с.

Г6. а) Камень бросили вертикально вниз без начальной скорости. Нарисуйте график зависимости его импульса от времени,

б) Шарик массой 100 г, движущийся со скоростью 1 м/с, упруго ударяется о плоскость. Определить изменение импульса шари­ка, если направление скорости составляет с плоскостью угол α, равный: а) 90°; б) 30°.

Г 7.(3.2Г) Шарик массой m = 10 г падает на горизонтальную плоскость с высоты h1 = 27 см. Найти среднюю силу удара F_cp в следующих случаях: а) шарик пластилиновый (абсолютно неупругий удар); б) шарик и плоскость из стали (абсолютно упругий удар); в) шарик пластмассовый и после удара подни­мается на высоту h2 = 12 см. Рассмотреть первые два случая удара шарика о плоскость, наклоненную под углом α = 30°. Считать во всех случаях, что соприкосновение шарика с плос­костью длилось (длительность удара) 0,03 с.

Рис.Г8

Г8.(3.3Г) Две частицы движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростью, равной соответственно 2v и v. Массы частиц m и 2m. На частицы начинает действовать оди­наковая сила. Определить величину и направление скорости частицы массой 2m в момент времени, когда скорость частицы массой m стала такой, как показано пунктиром: а) на Рис.Г8, а; б) на Рис.Г8, б.

Г9(МГТУ3.7). Телу сообщили начальную скорость v₀, направленную вдоль плоскости, наклоненной под углом α к горизонту. Через какое время тело остановится, если коэффициент трения между телом и плоскостью μ ?

Г10(МГТУ3.8). К телу массой т, движущемуся прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности, приложена по направлению его движения сила, изменяющаяся по линейному закону (см. рис.). Определить конечную скорость тела v_k через время τ, если начальная скорость v₀. Значения параметров F₀ и τ на рисунке считать известными.

Г11(МГТУ3.9). Тяга реактивного двигателя F менялась с течением времени t по закону, показанному на рисунке. Какую скорость v сообщил этот двигатель объекту массой т = 120 кг, находящемуся в открытом космосе?

Рис.Г10 Рис.Г11 Рис.Г12

Г12(МГТУ3.10). Автомобиль массой т = 2 10 кг движется со скоростью v - 90 км/ч . В момент времени t = 0 на него начинает действовать тормозящая сила F, которая нарастает по линейному закону (см. рис.). Через какое время t автомобиль остановится?

Олимпиадные задачи:

Д1(МГТУ3.16). Водометный катер движется с постоянной скоростью, забирая забортную воду и выбрасывая назад струю со скоростью и = 20 м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения струи S = 0,01 м². Найти скорость v катера, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: F = kv² , причем k = 7,5 Н • с²/м² .

Д2(МГТУ3.17). Струя воды вырывается из отверстия в нижней части прорвавшейся трубы со скоростью v и падает в подставленное ведро. Как изменяется сила давления F ведра на пол с течением времени t ? Масса ведра - М . За время τ из трубы вытекает масса m воды. Изменением скорости струи за время падения можно пренебречь

Д3(МГТУ3.18). Змея массой т и длиной L, лежащая на горизонтальной плоскости поднимает голову вертикально вверх с постоянной скоростью v. Считая, что масса змеи равномерно распределена по ее длине, определить силу N , с которой змея давит на плоскость.