Неструктурированные модели
Кинетика образования продуктов жизнедеятельности клеток наиболее проста в тех случаях, когда образование метаболитов и утилизация субстрата или клеточный рост связаны простым стехиометрическим отношением. Тогда скорость образования продуктов метаболизма можно выразить следующими уравнениями:
соответственно. Такие случаи типичны для микробиологических процессов типа I, рассмотренных в разд. 5.10.3. Примером может служить спиртовое брожение, кинетика которого в периодическом процессе отражена на рис. 7.29. Такого типа кинетику образования продуктов жизнедеятельности иногда называют сопряженной с ростом.
Во многих микробиологических процессах, особенно если речь идет о вторичных метаболитах, продукт жизнедеятельности клеток не образуется в сколько-нибудь значительных количествах в первых фазах периодического процесса вплоть до начала стационарной фазы или даже несколько позже, как, например, процесс биосинтеза пенициллина (рис 7.30). Иногда в таких случаях кинетика образования продукта жизнедеятельности клеток удовлетворительно описывается простой, не сопряженной с ростом моделью, в которой скорость образования метаболита принимается пропорциональной не скорости роста клеток, а их концентрации.
В ставшей классической работе Льюдикина и Пайрета, посвященной изучению молочнокислого брожения в присутствии бактерии Lactobacillus delbruekii, было показано, что в кинетику образования продукта метаболизма вносят вклад как сопряженные, так и не сопряженные с ростом факторы:
Такое уравнение скорости образования продукта метаболизма с двумя параметрами, часто называемое уравнением Льюдикина — Пайрета, оказалось чрезвычайно полезным при интерпретации экспериментальных результатов самых различных микробиологических процессов. Именно такую форму зависимости следует ожидать тогда, когда изучаемое вещество является конечным продуктом метаболического пути, связанного с выделением энергии (например, в некоторых процессах анаэробного брожения). В этих случаях первое и второе слагаемые правой части уравнения (7.93) можно рассматривать как меру энергии, расходуемой на клеточный рост и на поддержание клеток соответственно (см., например, работу [5]).
Пример 7.1. Последовательное определение параметров простого периодического процесса брожения. Рассмотрим модельный периодический процесс брожения, в котором клеточный рост описывается логистическим уравнением (7.51), а образование продукта метаболизма — уравнением Льюдикина — Пайрета (7.93):
Кинетику утилизации субстрата можно выразить следующим уравнением, в котором учтены превращение субстрата в клеточную массу и продукт метаболизма, а также его расход на поддержание клеток:
Подстановка уравнения (7П1.1) в (7П1.2) позволяет записать уравнение материального баланса по субстрату:
Эта и другие аналогичные модели позволяют описать многие практически важные микробиологические процессы, в том числе и такие, в которых образуется несколько конечных продуктов метаболизма [25]. К преимуществам этих моделей можно отнести и тот факт, что их параметры могут быть определены последовательно с помощью ряда специально разработанных удобных графических методов. Ниже мы вкратце рассмотрим эти методы.
Преобразованием уравнения (7.52) можно получить следующее выражение:
Нетрудно видеть, что определив экспериментально xs, можно затем по графику зависимости
от t найти k (тангенс угла наклона прямой) и х0 (отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат). Что касается параметров кинетики образования продукта жизнедеятельности клеток, то из уравнения Льюдикина — Пайрета для периодической культуры в стационарном состоянии следует
Построив график зависимости левой части уравнения (7П1.7) от [х(t)—х0], можно определить а. Аналогичным путем можно найти параметры f и ц в уравнении скорости утилизации субстрата.
В табл. 7П1.1 приведены найденные таким путем параметры кинетики четырех различных микробиологических процессов, в результате которых образуются внеклеточные полисахариды. Эти данные показывают, что процессы образования внеклеточных биополимеров по своим кинетическим характеристикам могут быть сопряжены с клеточным ростом (пуллулан и полиальгинат), не сопряжены с ним (биополимер из Pseudomonas sp.) или иметь смешанный характер (ксантан).
Временная зависимость концентрации продукта метаболизма в ходе периодического процесса может быть очень сложной, причем в среде могут накапливаться и подвергаться дальнейшим превращениям несколько веществ.
Различные возможные ситуации отражены в классификации микробиологических процессов, предложенной Дейндоерфером (табл. 7.4). В некоторых случаях сложная кинетика образования продукта жизнедеятельности клеток может отражать изменения в механизме метаболизма клетки. Показательным примером (важным как с точки зрения промышленного использования, так и в историческом аспекте) такой кинетики может служить синтез ацетона и бутанола бактерией Clostridium acetobutylicum (рис. 7.31). В первой фазе периодического процесса глюкоза превращается в уксусную и масляную кислоты, которые впоследствии перерабатываются (наряду с глюкозой) в ацетон и бутанол. Образование продуктов метаболизма клетки может сопровождаться также химическими превращениями метаболитов в среде, как, например, при спонтанном гидролизе пенициллина. Описание кинетики таких сложных процессов может потребовать включения этих дополнительных реакций в схему математической модели.