Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Ю. М. ЖУЧЕНКО

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В БИОЛОГИИ И ХИМИИ

Учебное пособие

Гомель 2010

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Ю. М. ЖУЧЕНКО

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В БИОЛОГИИ И ХИМИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

для студентов вузов, обучающихся по специальности 1-31 01 01 «Биология»

Гомель 2010

УДК 57; 004.9+54; 004.9 (075.8)

ББК 28c51+24c51я73

Ж 834

Рецензенты:

А.С. Кобайло доцент, к.т.н., доцент кафедры ИСиТ Белорусского государственного технологического университета;

Н.Г. Еремова доцент, к.б.н., доцент кафедры общей экологии и методики преподавания биологии Белорусского государственного университета.

Рекомендовано к изданию научно – методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Жученко, Ю. М.

Ж 834 Математическая статистика в биологии и химии: учебное пособие для студентов вузов по специальности 1-31 01 01 «Биология» / Ю. М. Жученко; М-во образования РБ, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2010.– 197 с.

ISBN

Целью учебного пособия является оказание помощи студентам в усвоении основ курса математической статистики в биологии и химии, обработки результатов экспериментов с применением возможностей персональных компьютеров.

Учебное пособие адресовано студентам специальности 1-31 01 01 “Биология”.

УДК 57; 004.9+54; 004.9 (075.8)

ББК 28c51+24c51я73

ISBN  Жученко Ю. М., 2010

 УО «Гомельский

государственный

у ниверситет им Ф. Скорины», 2010

Основные условные обозначения в математической статистике

X_i, Y_j, Z_k – случайные переменные (дискретные или непрерывные);

р – вероятность ожидаемого дискретного события;

q – вероятность противоположного дискретного события;

m – частота появления ожидаемого события;

n – число испытаний;

p_i – вероятность i–го дискретного события;

f(x) – плотность вероятности непрерывной случайной переменной;

E(X) – математическое ожидание случайной переменной;

D²(X) – дисперсия;

D(X) – стандартное (среднеквадратическое отклонение);

μ – среднее арифметическое выборки;

σ² – дисперсия выборки;

σ – стандартное (среднеквадратическое отклонение) выборки;

– среднее арифметическое генеральной совокупности;

– дисперсия генеральной совокупности;

– стандартное (среднеквадратическое) отклонение генеральной совокупности;

G – средняя геометрическая;

H – средняя гармоническая;

S – средняя квадратическая;

М₀ – мода;

М_е – медиана;

ν – число степеней свободы;

V – коэффициент вариации;

– нормированное отклонение;

– средняя суммарной группы;

– стандартное отклонение (сигма) суммарной группы;

А – скошенность (асимметрия) кривой распределения;

Е – крутизна (эксцесс) кривой распределения;

Δ – доверительные границы;

t – критерий надежности;

F – критерий Фишера;

β₁, β₂, β₃ – три основных порога вероятности безошибочных прогнозов;

χ² – критерий согласия Пирсона;

λ – критерий согласия Колмогорова – Смирнова;

– ошибка репрезентативности выборочного показателя;

– ошибка коэффициента вариации;

– ошибка разности средних;

– ошибка показателя асимметрии;

– ошибка показателя асимметрии;

– ошибка показателя эксцесса;

r – парный коэффициент корреляции;

– ошибка коэффициента корреляции;

R_y/x – коэффициент регрессии;

– ошибка коэффициента регрессии;

r_xy-z, r_xz-y, r_zy-x – частные коэффициенты корреляции;

R_x-yz, R_y-xz, R_z-yx – множественные коэффициенты корреляции;

η_yx – корреляционное отношение;

– ошибка репрезентативности корреляционного отношения;

С_i – сумма квадратов факториальных, случайной и общей центральных отклонений (С_V, С_А, С_B, С_АB, C_Z, С_Y);

– сила влияния.

Содержание

Основные условные обозначения в математической статистике 3

Введение 8

ТЕМА 1 Основы теории вероятностей 9

1 Предмет и метод математической статистики 9

2 Понятие случайного события 12

3 Вероятность случайного события 15

4 Основные теоремы теории вероятностей 17

ТЕМА 2 Случайные переменные 21

5 Понятие случайной переменной 21

6 Математическое ожидание и дисперсия 24

7 Моменты 27

ТЕМА 3 Дискретные распределения 30

8 Биномиальное распределение и измерение вероятностей 30

9 Распределение редких событий (Пуассона) 34

ТЕМА 4 Основные модели теоретических распределений 37

10 Прямоугольное (равномерное) распределение 37

11 Нормальное распределение 38

12 Логарифмически нормальное распределение 43

ТЕМА 5 Распределения параметров выборки 46

13 t – распределение Стьюдента 46

14 F-распределение Фишера–Снедекора 49

15 χ²–распределение 50

ТЕМА 6 Основы математической статистики 53

16 Средние величины 53

17 Средняя арифметическая 57

18 Средняя геометрическая 65

19 Средняя гармоническая 68

ТЕМА 7 Разнообразие значений признака 70

20 Стандартное (среднеквадратическое) отклонение 70

21 Проверка выпадов (артефактов) 76

22 Средняя и сигма суммарной группы 77

23 Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения 79

ТЕМА 8 Графическое представление распределений 81

24 Вариационный ряд 81

25 Гистограмма и вариационная кривая 83

26 Кумулята 84

27 Достоверность различия распределений 85

ТЕМА 9 Нормальное распределение 92

28 Генеральная совокупность и выборка 92

29 Репрезентативность 95

30 Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований 96

31 Доверительные границы 99

ТЕМА 10 Оценка генеральных параметров 102

32 Общий порядок оценки 102

33 Критерий достоверности разности 111

34 Репрезентативность при изучении качественных признаков 114

35 Достоверность разности долей 118

ТЕМА 11 Парная корреляция 121

36 Коэффициент корреляции 121

37 Ошибка коэффициента корреляции 126

38 Уравнение прямолинейной регрессии 131

39 Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии 133

ТЕМА 12 Частная и множественная линейные корреляции и регрессии 136

40 Частный коэффициент корреляции 136

41 Множественный коэффициент корреляции 139

42 Линейное уравнение множественной регрессии 140

ТЕМА 13 Криволинейная корреляция и регрессия 142

43 Корреляционное отношение 142

44 Свойства корреляционного отношения 147

45 Ошибка репрезентативности корреляционного отношения 148

46 Критерий линейности корреляции 150

ТЕМА 14 Однофакторный дисперсионный анализ 152

47 Сущность и метод дисперсионного анализа 152

48 Однофакторный дисперсионный комплекс 157

ТЕМА 15 Многофакторный дисперсионный анализ 160

49 Многофакторный дисперсионный комплекс 160

50 Преобразования 162

51 Универсальное использование дисперсий 163

ТЕМА 16 Классификация 175

52 Дискриминантный анализ 175

53 Кластерный анализ 179

Литература 185

Приложение. Основные формулы и определения 187