Оценка достоверности коэффициента корреляции

Для более наглядного представления об оценке достоверности (значимости) коэффициента корреляции построена таблица 7.4.

Таблица 7.4.

Оценка достоверности (значимости) коэффициента корреляции

Характеристики коэффициента корреляции	Средняя квадратическая ошибка	Вывод о значимости коэффициента корреляции делается, если:
Большое число наблюдений, распределение приближенно нормальное, r < 0,9
Малое число наблюдений (n < 30), распределение далеко от нормального, r < 0,9		, где находится по таблице распределения Стьюдента с параметрами
Малое число наблюдений (n < 30), распределение далеко от нормального, r > 0,9		, где z – преобразование Фишера

Доверительные границы коэффициента корреляции рассчитываются как:

, (7.8)

где - генеральное значение коэффициента корреляции;

- заданный уровень вероятности.

Пример7.4. Проверить значимость коэффициента корреляции, рассчитанного по данным примера 7.1.

Решение: , , тогда , что указывает на значимость коэффициента корреляции.

Ранговая корреляция

В анализе социально-экономических явлений широко используются ранговые коэффициенты корреляции (коэффициенты корреляции рангов), когда коррелируют не непосредственные значения X и Y, а их ранги, т.е. номера их мест, занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию. К таким непараметрическим коэффициентам относятся коэффициенты рангов Спирмена и Кендэлла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

(7.9)

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

(7.10)

Коэффициент корреляции Спирмена считается статистически значимым, если _, где находится по таблице распределения Стьюдента с параметрами .

Пример 7.5. Имеются данные о затратах на рекламу продукции и объеме выручки от реализации продукции (табл. 7.5.; графы А и Б)

Таблица 7.5.

Зависимость затрат на рекламу продукции и объема выручки от реализации продукции

Затраты на рекламу продукции, тыс. руб., Х	Объем выручки от реализации продукции, млн. руб., У
А	Б	1	2	3	4
1,5	26	2	1	1	1
2,4	71	3	3	0	0
8,6	45	10	2	8	64
1,3	95	1	4	-3	9
3,3	112	4	5	-1	1
4,0	130	6	6	0	0
5,1	145	7	7	0	0
6,1	190	8	8	0	0
3,5	220	5	9	-4	16
7,1	231	9	10	-1	1
Итого	-	-	-	-	92

Вычислить коэффициент Спирмена.

Решение: Определив ранги значений X и Y и их разность (табл. 7.5.; графы 1, 2, 3, 4), получаем .

При условии, что ранги не повторяются, коэффициент ранговой корреляции Кендэлла рассчитывается как:

, (7.11)

где S – фактическая сумма рангов

При этом соблюдаем следующую последовательность действий:

1. Значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания.

2. Значения У располагаются в порядке соответствующем значениям Х.

3. Для каждого ранга У определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Результат записывается в столбец «+», суммируется и обозначается Р.

4. Для каждого ранга У определяется число следующих за ним меньших значений рангов. Результат записывается в столбец «-», суммируется и обозначается Q.

5. Определяется общая сумма S=P+Q.

Интерпретация коэффициентов Спирмена и Кендэлла аналогична интерпретации коэффициента корреляции Пирсона.

Пример 7.6. Рассчитаем значение коэффициента Кендэлла на основании данных примера 7.5

Решение:

Х	У	1-й шаг	2-й шаг	3-й шаг «+»	4-й шаг «-»
1,5	26	1,3	95	6	3
2,4	71	1,5	26	8	0
8,6	45	2,4	71	6	1
1,3	95	3,3	112	5	1
3,3	112	3,5	220	1	4
4,0	130	4,0	130	3	1
5,1	145	5,1	145	2	1
6,1	190	6,1	190	1	1
3,5	220	7,1	231	0	1
7,1	231	8,6	45	-	-
Итого	-	-		P=32	Q=-13

5-й шаг: S=P+Q=32+(-13)=19, тогда

Существенность коэффициента корреляции рангов Кэндэлла проверяется по формуле:

, (7.12)

где - коэффициент, определяемый по таблице нормальгого распределения для выбранного уровня значимости при больших п.

Коэффициент Кендэлла всегда меньше по значению, чем коэффициент Спирмена, точнее . Это соотношение выполняется при большом числе наблюдений, т.е п>30, и слабых либо умеренно тесных связях.

Если отдельные значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяются. Данные ранги называются связанными (или повторяющимися). Для случая связанных рангов есть особые скорректированные формулы для коэффициентов Спирмена и Кендэлла, однако на практике часто пользуются формулами приведенными выше.