6.4.1. Логическое уточнение понятия теории

Научная теория достаточно сложное образование. Вне всякого сомнения, теория есть всегда теория чего-то. Теория дает средства для стандартного и систематического описания исследуемых объектов и процессов, с помощью теории на базе эмпирических данных делаются лредскшания, теория дает средства для формулировки законов и объясняет имеющие место феномены и эмпирические зависимости. Чтобы выполнять эти и другае функции, теория должна быть црежде всего системой взаимосвязанных утверждений. Из одних принятых утверждений в рамках теории извлекаются другие, являющиеся их логическими следствиями. Чтобы сделать теории объектом изучения, целесообразно расчленить сложную проблематику, на определенных этапах абстрагироваться от ряда сторон и факторов, принять определенные идеализации. С логической точки зрения теория есть прежде всего система утверждений, связанных отношением логического следования или выводимости. На этом этапе мы отвлекаемся от проблемы эмпирической интерпретации теории, ее адекватности, простоты, объяснительной и предсказательной силы и т. д. При таком абстрактном подходе под теорией будем понимать множество предложений, замкнутое относительно выводимости. Чтобы понятие теории стало точным, необходимо фиксировать язык, на котором делаются утверждения теории. Язык теории Т будем обозначать LT. Далее должны быть описаны логические средства, с помощью которых из одних утверждений выводятся другие. Отно-

шение логической выводимости мы будем обозначать следующим образом: выражение Г | — А означает, что из множества предложений Г выводимо (средствами фиксированной логики) предложение А. Мы будем использовать также операцию образования по данному множеству предложений Г всех его следствий и обозначать Сп (Г)- Операция Сп и отношение I — могут быть определены одно через другое: Сп (Г) = Df{A | ГI— А}.

Теперь можно дать точное определение понятия теории (для фиксированного языка и фиксированного отношения выводимости): или в терминах Сп.

Обсуждаемое выше понятие теории — достаточно идеализированное понятие. Теория отождествляется с множеством теорем. Но это не просто множество теорем, которые нам известны в качестве теорем, и даже не множество теорем, которые будут доказаны, а множество «теорем в себе».

Рассматриваемое понятие теории шире понятия аксиоматической теории. Теория аксиоматизируема, если и только если существует рекурсивное множество предложений (называемых аксиомами), такое, что всякая теорема теории следует из этого множества, т. е. существует такое Д, что Г= Сп (А). Если Д — конечное множество и Г = Сп (А), то теорию Г будем называть конечно-аксиоматизируемой. Существуют теории, которые не аксиоматизируемы. Например, множество всех истинных предложений первопорядковой арифметики (а это теория) не является аксиоматизируемой теорией. А формальная теория первопорядковой арифметики не является конечно-аксиоматизируемой.

. Если теория аксиоматизируема, то она может быть задана рекурсивным множеством своих аксиом. Если теория конечно-аксиоматизируема, то она описывается списком аксиом или даже одной-единственной аксиомой, являющейся конъюнкцией всех аксиом из конечного списка. В методологии науки нередко отождествляют теорию с конечно-аксиоматизируемой теорией, хотя не всякая аксиоматизируемая теория конечно-аксиоматизируема. В ряде случаев теорию отождествляют с одной аксиомой, что некорректно, так как теория есть не предложение, а класс всех его следствий.

Промежуточными между теориями в теоретико-множественном смысле и аксиоматизируемыми теориями со стандартной формализацией являются так называемые полуформальные теории, в которых допускаются правила из бесконечного числа посылок, типа правила Карнапа.

Отметим, что, помимо описанного выше синтаксического понятия теории (как множества предложений, замкнутого относительно выводимости), может быть сформулировано и семантическое понятие теории. Пусть фиксирован некоторый строго построенный язык, например, прикладной первопоряд-ковый язык. Совокупность нелогических знаков данного языка называется словарем этого языка. Каждый знак словаря принадлежит к некоторой синтаксической категории; это может быть индивидная константа (собственное имя), одноместная, двуместная и более местная предикатная константа, п-местная функциональная константа. Под интерпретацией данного языка L со словарем А на некоторую непустую область объектов X имеется в виду функция, которая каждому знаку словаря А сопоставляет некоторый объект, а именно — каждой индивидной константе — некоторый объект из X, одноместным предикатным константам — множества индивидов из X, двуместным предикатным константам — множества пар индивидов и т. п. Индивидная область X вместе с вьщеленными интерпретацией объектами, функциями и отношениями называется возможной реализацией языка L. Теперь стандартным образом можно определить понятие истинности предложения в данной возможной реализации: М естьмодель множества предложений Г, если и только если каждое предложение из Г истинно в М. Каждому классу возможных реализаций можно сопоставить множество предложений, истинных в каждой из возможных реализаций этого класса.

Теперь можно определить теорию как класс всех предложений, истинных во всех возможных реализациях некоторого класса. Противоречивая теория — это теория пустого класса возможных реализации, т. е. теория, не имеющая моделей.

Таким образом, понимаемые теории, особенно первопоряд-ковые теории, основательно изучены. В теории моделей установлена связь между семантическими и синтаксическими по-

нятиями. Разработаны теоретико-модельные и теоретико-доказательственные методы установления непротиворечивости, полноты или неполноты, разрешимости или неразрешимости теорий. Полученные результаты оказались полезными не только для методологических исследований математических теорий, но и для решения собственно математических проблем.