6.3.1. Структура математических теорий

Наиболее значительные успехи в исследовании структуры теорий в настоящее время достигнуты в области математики. Импульсом для этих исследований послужили трудности, которые возникли в математике в конце XIX — начале XX в. в связи с обнаружением парадоксов теории множеств. Кризис, возник-

ший в математике после открытия парадоксов, заставил математиков тщательно заняться анализом всех исходных предпосылок и допущений своих теорий, а также логических средств, используемых для доказательства, т. е. вывода теорем из аксиом. Для того, чтобы исключить все допущения, приводящие к парадоксам, сама теория множеств стала строиться аксиоматически. Благодаря этому удалось так ограничить понятие множества, что при соблюдении правил логики парадоксы в аксиоматической теории уже не возникают. Аксиоматический метод и изощренная логическая техника впоследствии были использованы для анализа остальных математических теорий, которые опираются на теорию множеств как на свой фундамент.

Существенно новые результаты в исследовании структуры математических теорий были получены коллективом французских математиков, выступающих под псевдонимом Н. Бурба-ки. Эта школа фактически продолжает линию исследований, которая была намечена в работах Э. Цермело по аксиоматизации теории множеств. Поскольку исходные понятия почти всех математических теорий можно выразить в терминах абстрактной теории множеств, а сами теории рассматривать как аксиоматические системы, то эти математики поставили своей целью представить все существующие математические теории как некоторые комбинации абстрактных структур. Эта точка зрения получила широкое признание среди математиков, и поэтому сейчас нередко математику определяют как науку об абстрактных структурах.

Чтобы яснее представить этот новый взгляд, обратимся к программной статье Н. Бурбаки «Архитектура математики». Для определения структуры, пишут авторы, «задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы. затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Получить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их «природы»)».

На первый взгляд может показаться, что при аксиоматическом подходе к теории все внимание обращается лишь на дедукцию следствий из аксиом. Недаром сущность самой математики иногда видят не столько в ее предмете, сколько в методе. Однако такой взгляд вряд ли может помочь понять подлинную специфику математических теорий. Во-первых, дедуктивные рассуждения используются не только в одной математике. Во-вторых, применяемый в науке метод'не может служить в качестве решающего признака, по которому эту науку можно отличать от других. Хорошо известно, например, что эксперимент и индуктивные умозаключения из наблюдений и опытов с одинаковым успехом используются и в физике, и в биологии, но было бы неразумным сводить к ним специфику и физики, и биологии.

Несмотря на то, что дедукция играет доминирующую роль во всех доказательствах математики, все же сама по себе она не дает возможности вскрыть структуру математических теорий, а тем более понять сущность математики. Конечно, способ рассуждения, показывающий, по каким правилам логики теоремы выводятся из аксиом, входит важным компонентом в аксиоматический метод. Анализ этой проблемы во всем ее объеме составляет главную задачу математической логики. В этих целях она отображает содержательные рассуждения в формализованных логических языках, или логических формализмах, которые свободны от неясностей и неточностей обычного языка. Но как правильно подчеркивает Н. Бурбаки, уточнение словаря и синтаксиса математического языка, хотя и является очень полезным делом, в действительности составляет лишь одну из сторон аксиоматического метода и при том наименее интересную.

С чисто формальной точки зрения все высказывания, фигурирующие в теории, могут претендовать на роль аксиом, а сама теория рассматриваться как совокупность высказываний, замкнутых для дедукции. Точнее говоря, каждое множество высказываний, которое содержит все свои логические следствия, будет представлять замкнутую систему или теорию. С помощью двух исходных понятий — осмысленного высказывания и следствия — можно, как показал А. Тарский, полу-

чить весьма интересные результаты в области методологии дедуктивных наук, в терминах которой могут быть определены такие важнейшие свойства математических теорий, как непротиворечивость, аксиоматизируемость, полнота и др. Однако логический формализм не может объяснить, почему лишь некоторые высказывания выбираются в качестве аксиом, какими целями руководствуется исследователь при их выборе, почему вопреки их внешнему различию многие теории оказываются тождественными по своей структуре?

Ответы на эти вопросы можно получить, если учитывать взаимосвязи математики с естественнонаучными и социальными науками и проанализировать основные абстрактные структуры, явно или неявно используемые в процессе создания математических теорий. Как уже отмечалось, в основе любой абстрактной структуры лежит одно или несколько отношений, в которых находятся элементы некоторого множества, причем сама конкретная природа этих элементов остается безразличной для целей математического исследования. Когда два элемента множества однозначно определяют третий элемент как функцию двух первых, то такое отношение называют «законом композиции». Структуры, исходные отношения которых представляют «законы композиции», называются алгебраическими. Соответственно этому, алгебраическими будут считаться теории, обладающие такой структурой. Простейшая из них — теория групп — характеризуется одним законом композиции. Если элементами структуры являются действительные числа, то третий элемент находится путем сложения двух чисел, а «закон композиции» в этом случае называется сложением, но в принципе он может иметь любое другое конкретное содержание.

Вторым основным типом структур, часто встречающимся в математике, являются структуры порядка. Сюда относятся не только случаи, когда рассматривается порядок следования элементов определенного множества, но и сравнение их по величине, делимости и т. п.

Наконец, третий, фундаментальный тип структур составляют структуры топологического порядка, которые в существенной степени опираются на понятия непрерывности и предела. Хорошо знакомыми примерами теорий, обладающих тополо-

гической структурой, являются различные геометрические теории.

С помощью перечисленных трех основных структур можно проводить дальнейшую классификацию математических теорий по степени их общности. Так, например, структура теории групп имеет менее общий характер, чем структура алгебраического поля, так как последняя определяется двумя законами композиции, в то время как первая лишь одним. В свою очередь, добавляя к основным аксиомам, характеризующим структуру группы, дополнительные, можно прийти к более частным, специальным теориям групп. Например, если исходная алгебраическая операция будет удовлетворять условиям коммутативности, то полученная группа будет называться коммутативной, или абелевой. Если число элементов в такой группе конечно, то рассматриваемая Теория конечных абелевых групп будет иметь еще более частный характер. Подобный переход от общих к частным теориям, совершающийся за счет дальнейшей спецификации лежащей в их основе структуры, дает возможность классифицировать сравнительно ограниченное число математических теорий. Главную же роль при классификации играет идея иерархии структур, согласно которой многие математические теории возникают за счет комбинации или, скорей, синтеза нескольких основных, или порождающих, структур. Но даже такой подход не свободен от недостатков, так как в процессе развития математической науки вполне могут быть выявлены новые, неожиданные связи между теориями и обнаружены новые фундаментальные структуры.

В последние годы все чаще обращаются к сравнительно недавно возникшей алгебраической теории категорий, рассматривая ее как новый фундамент для всей математики. Понятие категории включает как частный случай понятие множества, но в отличие от последнего оно выделяет конструктивный аспект математической деятельности благодаря подчеркиванию роли морфизмов (функций, преобразований и т. п.). Обычно категорию определяют как совокупность класса объектов и класса морфизмов, которые связаны между собой следующими условиями:

1) каждой упорядоченной паре объектов А, В категории сопоставлено некоторое множество Я (А, В) ее морфизмов;

2) каждый морфизм категории принадлежит одному и только одному из множеств Я (X, У);

3) в классе морфизмов введена частичная бинарная операция умножения;

4) в каждом морфизме Я (А, А) содержится тождественный, или единичный, морфизм.

Категорию множеств можно рассматривать как класс, объектами которого являются всевозможные множества, а мор-физмами непустого множества А в непустое множество В — всевозможные однозначные отображения множества А в множество В. Иначе говоря, множества выступают как объекты или элементы категорий. Но главное состоит даже не в этом. В противоположность теоретико-множественному подходу теория категорий обращает внимание не на понятие математического объекта, а на выяснение его структурных свойств.

Классификация математических теорий, основанная на исследовании их морфизмов, была бы существенным дополнением для тех идей, которые выдвигает Н. Бурбаки. Несмотря на ряд интересных проблем, возникающих в связи с этим, в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно структуру опытных, или фактуальных, теорий, так как именно вокруг них сейчас происходят наиболее острые дискуссии.