4,9.6, Специфические законы логики предикатов

С помощью сформулированных выше правил естественного выводы доказываются следующие формулы, которые выражают собой специфические законы логики предикатов:

Формулы 4 и 5 называются законами перестановки кванторов. Согласно этим законам начинающие формулу однородные кванторы вместе с их переменными можно менять местами.

Формулы 7—16 называются законами пронесения кванторов. В них указываются условия, при которых кванторы можно вносить в область действия или выносить из области действия бинарной пропозициональной связки, т.е. знака конъюнкции, дизъюнкции и импликации.

Формулы 17—18 выражают принципы так называемых вырожденных кванторов, которые не имеют в управляемой ими формуле свободных вхождений переменных, связываемых этими кванторами. Согласно этим принципам можно избавляться от вырожденных кванторов.

Формулы 19—25 называются законами отрицания кванторов. Формулы 22—23 называются законами де Моргана для кванторов. Формула 24—25 доказуемы только в классическом исчислении предикатов.

Для исчисления предикатов известны доказательства семантической корректности и полноты, но рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашего курса. Заметим, что непротиворечивость исчисления предикатов может быть доказана независимо от его семантической корректности.

Хотя исчисление предикатов представляет собой семантически полную логическую теорию, оно не является разрешимой теорией. Для исчисления предикатов не существует эффективного метода (алгоритма), позволяющего ответить на вопрос, доказуема или нет произвольная формула данного исчисления. Однако существуют обширные разрешимые фрагменты рассматриваемой логической теории, в частности, исчисление одноместных предикатов разрешимо. Это положение развивается в следующем разделе.

4.9.7. Теории первого порядка.

Аксиоматическое представление логики предикатов

В случае пропозиционального исчисления метод истинностных таблиц дает нам эффективный способ проверки, является ли данная пропозициональная форма тавтологией. Однако представляется сомнительным существование эффективного процес-

са, позволяющего для любой данной формулы решать вопрос о том, является ли она логически общезначимой, поскольку теперь уже для каждой формулы приходится иметь дело с проверкой ее истинности в интерпретациях с областями, вообще говоря сколь угодно большими конечными, а также и бесконечными. И в самом деле, в дальнейшем мы увидим, что, в соответствии с некоторым совершенно естественным определением понятия «эффективности», действительно может быть доказана невозможность эффективного способа распознать логическую общезначимость. Аксиоматический метод, который был, пожалуй, излишней роскошью при изучении пропозиционального исчисления, представляется, таким образом, необходимым при изучении формул, содержащих кванторы, и поэтому мы теперь обращаемся к рассмотрению теорий первого порядка (или, иначе, элементарных теорий). Слова «первого порядка» указывают на отличие от теорий, в которых либо допускаются предикаты, имеющие в качестве возможных значений своих аргументов другие предикаты и функции, либо допускаются кванторы по предикатам или кванторы по функциям.

Символами всякой теории К первого порядка служат по существу те же символы, которые мы ввели ранее.

Логические аксиомы теории первого порядка

Могут быть сформулированы и так называемые собственные аксиомы. Но они как таковые не могут быть сформулированы в общем случае, ибо меняются от теории к теории. Теория первого порядка, не содержащая собственных аксиом, называется исчислением предикатов первого порядка.

Правилами вывода во всякой теории первого порядка являются следующие:

1. Modus ponens.

2. Правило обобщения (или связывания квантором всеобщности):

из А следует (х) А.

Моделью теории первого порядка К называется всякая интерпретация, в которой истинны все аксиомы теории К. Если правила modus ponens и обобщения применяются к истинным в данной интерпретации формулам, то результатом являются формулы, также истинные в той же интерпретации. Следовательно, и всякая теорема теории К истинна во всякой ее модели.

Логические аксиомы выбраны таким образом, что множество логических следствий аксиом теории К в точности совпадает с множеством теорем теории К. В частности, для исчисления предикатов первого порядка оказывается, что множество его теорем совпадает с множеством логически общезначимых формул.