4.8.7. Полнота классического исчисления высказываний

До сих пор у нас еще не может быть полной уверенности в корректности рассмотренных в предшествующих параграфах логических правил. Иначе говоря, не совсем ясно, не получим ли мы, пользуясь этими правилами, ложных следствий из истинных посылок. Но если мы покажем, что все доказуемые формулы (теоремы) системы N тождественно-истинны, то у нас не будет оснований сомневаться в корректности как основных, так и производных логических правил этой системы. Свойство логической системы, состоящее в том, что доказуемые в ней формулы тождественно-истинны, называется корректностью данной системы относительно класса логических тождеств, или семантической корректностью.

Но естественно поставить и еще один вопрос: достаточно ли логических средств системы N для обоснования всех допустимых в логике высказываний способов рассуждения? На

этот вопрос мы, очевидно, получим утвердительный ответ,-если покажем, что любая теорема системы N является логическим тождеством.

Свойство логической системы, состоящее в том, что любая тождественно-истинная формула доказуема в ней, называется полнотой данной системы относительно класса логических тождеств, или семантической полнотой. Руководствуясь требованиями корректности и полноты, можно судить об адекватности формального аппарата логического исчисления содержательно охарактеризованным принципам логики.

Покажем сначала, что система N естественного вывода семантически полна, отложив установление ее семантической корректности до следующего параграфа.

Будем говорить, что формула F составлена из пропозициональных букв El, E2, ., En (эти буквы выписаны без повторений), если в перечне El, E2, ., En имеются все пропорциональные буквы, входящие в F (но могут содержаться и другие, не входящие в F буквы).

Очевидно, что для любой формулы можно указать (неограниченно) много перечней пропозициональных букв, из которых она составлена, но только один из этих перечней будет минимальным, а именно тот, в котором нет пропозициональных букв, не входящих в данную формулу,

Положение 1.

Пусть El, E2, .,Еп — перечень пропозициональных букв, из которых составлена формула F. Тогда, если F есть тождественно-истинная формула, то в системе N доказуема формула

Положение 2.

Если формула F тождественно-истинна, то F доказуема в N.

Из положений 1 и 2 следует, что формула F доказуема в№ Доказательство положения 2 дает эффективный общий метод, с помощью которого для любой тождественно-истинной формулы по ее таблице можно построить доказательство данной формулы в системе iV. Из положения 2 вытекает следствие.

Если формулы А, В равносильны, то в системе N доказуема формула

4.9

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ.

СИМВОЛИЗАЦИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО

ЯЗЫКА

Теории вывода, которую дает исчисление высказываний, недостаточно для математики, да и для обычных рассуждений. Например, из посылок «Всякое рациональное число есть действительное число», «3 есть рациональное число», конечно, можно вывести заключение «3 есть действительное число». Однако логичность этого рассуждения нельзя установить в исчислении высказываний. Объясняется это тем, что исчисление высказываний ограничивается структурой предложений в терминах предложений-компонентов, а приведенный выше вывод требует анализа структуры предложений в смысле связи субъекта и предиката, как это делается в грамматике иными словами. Исчисление высказываний не разделяет предложения на достаточно «тонкие» составляющие для удовлетворения более глубоких целей. С другой стороны, оказывается, что, добавив три дополнительных логических понятия, называемых термами, предикатами и кванторами, можно символизировать очень многое в обычном и математическом смысле так, что становится возможным анализ рассуждения.

4.9.1. Понятие предиката, предикатного выражения и кванторов

Перейдем теперь к понятию предиката. В грамматике предикат (сказуемое) есть то слово (или несколько слов) в предложении, которое выражает то, что говорится о субъекте (подлежащем): например, «действительное число», «имеет черный цвет», «завидует». В логике «предикат» употребляется в, более общем смысле, чем в грамматик*. Дело в том, что, вводя в предикат переменную, замещающую предмет (например,»* есть действительное число»), мы получаем назывательную функ-

цию в том смысле, что для каждого значения переменной х (из соответствующей области определения) результат есть выскат зывание.

Сразу же напрашивается обобщение, а именно, распространение сказанного на высказывательные функции со многими переменными.

Вот несколько примеров:

х меньше у, у делится на х, t есть сумма х и у. ,

Результатом является понятие об и-местном предикате как о выражении, обладающем тем свойством, что, приписав значения xl, х2,. хn из соответствующих областей определения, мы получаем высказьтание. Для удобства в число значений п включаем и под 0-местным предикатом высказывание.

В обычной грамматике «есть действительное число» — предикат в предложении «Каждое рациональное число есть действительное число» — (1). В переводе предложения «Для любого х, если х есть рационаьное число, то х есть действительное число» — (2) дополнительный предикат «х есть рациональное число» заменяет имя нарицательное «рациональное число». Обозначая через Q (x) «х есть рациональное число», а через R (х) «х действительное число», мы можем выразить (2) в символической форме в виде

Для любого х, Q (x) R (х). (3)

Далее, высказывание «3 — рациональное число» можно записать символически так:

Q(3). (4)

С использованием введенных пока символов (3) и (4) дают переводы посылок рассуждения, данного в начале настоящего раздела.

На основании принятых допущений, если переменным предиката приписать подходящие значения, мы получим высказывание. Например, если S(х) обозначает «х есть второкурсник», то из этого предиката получается высказьтание «Джон есть второкурсник». Высказьтание можно получить из S (х) также, если предпослать ему выражение «Для всякого х».

Для всякого х х eсть второкурсник.

Несомненно, мы предпочли бы перефразировать данный пример в виде:

Всякий человек — второкурсник.

Выражение «для всякого х» называется квантором общности. Мы считаем «для каждогох» и «для всех х» выражающими одинаковый смысл, и символически записываем любое из них в виде:

(Vx) или (х).

Пользуясь этим обозначением, мы можем записать данный пример в символической форме:

(x)S(x).

Подобным же образом, предпослав S(x) выражение «существует х (такое, что)», получаем высказывание, имеющее тот же смысл, что и «существуют второкурсники». Выражение «существует х» называется квантором существования. Мы считаем «существует х», «для некоторых х» или «по меньшей мере для одного х, имеющими смысл, и символически записываем любое из них в виде

(Ех).

Таким образом, «(Е x)S(x)» представляет собой в символической форме предложение «существуют второкурсники».

В каждом из примеров квантор стоит не только перед предикатом, но и перед «формой от х»; под этим мы будем понимать временно выражение, составленное из одноместных предикатов Р(х), . с использованием сентенциональных связок. Применяя обозначение, введенное для квантора общности, мы можем теперь записать предложение «рациональное число есть действительное число» в окончательной форме:

Подобным же образом предложение «некоторые действительные числа являются рациональными» можно перевести в символическую форму следующим образом:

Исчисление предикатов. Общая формулировка

Примем, что для каждого п = 0, 1, 2, . дано некоторое число n-местных предикатов (или высказывательных функций от п переменных). Будем обозначать их символически через Р(х, у) (для какого-нибудь одного двухместного предиката), Р (х, у, z) (для какого-нибудь одного трехместного предиката, который по необходимости будет отличаться от предиката, обозначенного через Р(х, у), так как представляет собой функцию другого числа переменных), Q{x, у, z) (для другого трехместного предиката), R (для 0-местного предиката, т. е. для высказывания, и т. д. Примем, что множество всех n-местных предикатов при п = 1, 2, . не пусто. В дальнейшем данные нам предикаты будем называть предикатными символами.

Понятие формулы логики предикатов

Пользуясь данным множеством предикатных символов, мы образуем выражения, которые будем называть «формулами (исчисления предикатов)». Простая (или элементарная) формула есть выражение, получающееся из предикатного символа подстановкой в него вместо переменных, входящих в предикатный символ, каких-либо (не обязательно различных) переменных.

Например, из предикатного символа Р (х, у, z) получаем простые формулы Р (х, у, z), P (х, у, у), Р(у, х, х) и Р(и, и и). Мы расширим множество простых формул, присоединив к нему все выражения, какие можно образовать, применяя повторно и всевозможными способами сентенциональные связки и кванторы. Точнее, мы расширим множество простых формул до такого наименьшего множества, которое удовлетворяет следующим условиям: если А и В — элементы данного множества, то элементами его будут и и

Кроме того, если А — элемент данного множества, а х — переменная, то (х) А и (Е х)А — тоже элементы этого множества. Элементы такого расширенного множества называются формулами, те из них, которые не являются простыми, называются составными формулами.

В качестве следующего шага определим область действия

квантора. Область действия квантора определяется применением скобок.

Теперь можно дать главные определения, связанные с рассматриваемым вопросом. Вхождение переменной в формулу называется связанным, если оно находится в области действия квантора, использующего эту переменную, или же оно является вхождением в этот квантор. Вхождение переменной в формулу называется свободным, если оно не является связанным.

Например, в формуле

(х)Р(х, у)

оба вхождения x связанные, а единственное вхождение у в данную формулу является свободным. В формуле

каждое вхождение каждой из переменных связанное.

Переменная может быть одновременно и свободной и связанной в формуле. Так обстоит, например, дело в следующей формуле:

Если переменная свободна в формуле и входящим в формулу предикатам приписать значения, то эта переменная будет играть роль неизвестного в привычном смысле, поскольку формула становится высказыванием об этой переменной.