4.8.2. Правила вывода
В логике правила
следования записываются в виде фигур
рассуждения
которые читаются так: из Al, A2, . , An следует (или выводится) С. Члены А1, А2,., Аn называются посылками, а член С называется заключением данной фигуры. Но, конечно, не всякая фигура такого вида является правилом следования. Это понятие раскрывается в приводимом ниже определении.
Определение правила логического следования.
Фигура
называется
корректной фигурой, или правилом
следования, если формула
вида
есть логическое тождество.
Таким образом, для проверки корректности некоторой фигуры рассуждения нужно образовать кратную импликацию, сделав посылки фигуры антецедентами, а заключение фигуры — консеквентом этой импликации, и выяснить, является ли полученная этим путем формула тождественно-истинной.
Для выяснения данного вопроса очевидно нет необходимости строить полную таблицу. Можно ограничиться только фрагментом, который содержит столбцы для каждого антецедента и консеквента испытываемой кратной импликации. Сама же процедура ее проверки на тождественную истинность состоит в следующем.
Рассматриваем только те строки таблицы, где под каждым антецедентом стоит символ логического значения «истинно». Тогда: 1) если во всех рассматриваемых строках под консеквентом будет написан также символ логического значения «истинно», то кратная импликация является логическим тождеством и (по определению) соответствующая ей фигура корректна, т. е. представляет правило логического следования; 2) если же среди рассматриваемых строк найдется хотя бы одна, в которой под консеквентом стоит символ логического значения «ложно», то кратная импликация не есть логическое тождество, а соответствующая ей фигура некорректна.
Понятно, что описанная процедура позволяет испытывать на корректность фигуры рассуждения, минуя фактическое построение соответствующей кратной импликации.
Логический вывод
обозначается следующим знаком:
Формула следующего
вида:
означает, что формула Q выводится из формул Р1, Р2.Рп.ч
Такими фигурами выводы являются следующие:
МП
(modus ponens)
Данную фигуру называют также «правилом отделения».
ВК (введение
конъюнкции)
Правило ВК означает, что конъюнкция следует из любых двух формул и называется введением конъюнкции.
Правило ВД, состоящее из двух фигур, означает, что дизъюнкция следует из формулы, совпадающей с одним из ее членов (дизъюнктов), и называется введением дизъюнкции.
Правило УК, также состоящее из двух фигур, означает, что из конъюнкции следует формула, совпадающая с одним из ее членов (конъюнктов), и называется правилом удаления конъюнкции.
Правило УД называется правилом удаления дизъюнкции и означает, что из двух импликаций, консеквенты которых одинаковы, и дизъюнкции формул, совпадающих с антецедентами этих импликаций, следует формула, совпадающая с кон-секвентом импликаций.
Правило МТ — это модус тол ленс.
Рассмотренные правила следования мы привели здесь главным образом в иллюстративных целях, не претендуя на систематическое рассмотрение, которое откладываем до следующих параграфов.
Применяя правила следования, мы можем из исходных формул, называемых посылками, или допущениями, получать (выводить) новые формулы, логически следующие из исходных, путем построения последовательностей формул, в которых каждая формула или является посылкой, или же следует из предшествующих формул по одному из правил следования.
Такого рода последовательности формул называются фор-
мальными выводами. Они служат в логике моделями, на которых изучаются закономерности обычных логических рассуждений.
Приведенное выше определение вывода является эффективным в том смысле, что для любой предъявленной последовательности формул (логики высказываний) мы, пользуясь табличным методом, всегда в состоянии ответить на вопрос, является ли данная последовательность формул выводом из данных посылок (исходных формул) или нет. Однако отсутствие ссылки на конечную совокупность правил делает это определение малоинтересным даже с отвлеченно-теоретической точки зрения.
В дальнейшем мы укажем конечную совокупность логических правил, с помощью которой можно строить формальные выводы, возможно точно передающие структуру обычных логических рассуждений, иными словами, построим логическую систему (логическое исчисление) естественного вывода. С целью выяснения характерных особенностей логического строения обычных рассуждений проанализируем вначале примеры конкретных логических доказательств.