4.1.2. Язык логики высказываний

Логика высказываний может быть построена так. Прежде всего для этого сначала введем понятие языка логики высказываний, задаваемого алфавитом языка и понятием правильно построенного высказывания.

Язык логики высказываний включает в себя следующие символы:

1) р, q, г,. — пропозициональные буквы, имеющие значением простые высказывания;

2) высказываниеобразующие операторы: (отрицание), &

(конъюнкция), V (слабая дизъюнкция). (сильная дизъюнкция), (импликация), (эквиваленция); 3) вспомогательные символы, в качестве которых используются круглые скобки.

4.1.3. Понятие правильно построенного высказывания (ппв) определяется таким образом:

1. Всякая пропозициональная буква есть (простое) высказывание (ППВ).

3. Всякая последовательность символов языка логики высказываний есть ППВ только в силу пунктов 1 и 2. Согласно данному определению, ППВ будут последовательности символов

и подобные. При составлении достаточно длинных последовательностей договоримся, что если знак относится к отдельной пропозициональной букве, то скобки ставить не будем, также будем снимать крайние левую и правую скобки у отдельно стоящего ППВ.

Например, ~ р q означает ((— р) q), a ~ (p q) означает

(~ (РФ).

Образцы: 1. Выражение «Если портной починит рукав пальто и погода будет хорошая, то я смогу пойти на прогулку».

2. Перевод с естественного языка на язык искусственный: «Если «Спартак» выиграет у «Динамо», то он будет призером. «Спартак» выиграет у «Динамо» или проиграет. Если «Спартак» не проиграет, то он будет призером».

Рассмотрим некоторые понятия теории моделей пропозициональной логики.

Язык логики высказываний — это искусственный язык,

предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний.

Роль структурных образований, аналогичных элементарным и сложным высказываниям, в этом языке играют формулы. Формулы — это такие конечные последовательности знаков алфавита, которые построены по определенным правилам и образуют законченные выражения языка логики высказываний.

4.1.4. Понятие формулы логики высказываний

Никаких других формул, кроме указанных в п. 1) — 3), в языке логики высказываний нет.

Заглавные латинские буквы А и В, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, т. е. тому языку, на котором мы говорим о языке логики высказываний, и служат для обозначения произвольных формул, записанных на языке логики высказываний. В отличие от букв, которые являются пропозициональными переменными, их называют метапере-менными, или метабуквами.

нейшем мы часто будем говорить «формула (А & В)», подразумевая любую формулу логики высказываний соответствующе-

го вида, а не саму запись (А & В), которая является схемой формул.

Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой.

Если она построена в соответствии с указанными правилами, то она — формула, если нет, обычная последовательность знаков.

4.2

СЕМАНТИКА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАКОВ

Точный смысл (семантика) логических знаков может быть разъяснен с помощью специальных таблиц, в которых зафиксировано, при каких логических значениях формул А В формулы истинны, а при каких ложны.