3.7.4. Проверка гипотезы

Существует два способа проверки гипотезы: дедуктивное выведение всех следствий гипотезы и сопоставление их с фактами.

Дедуктивное выведение следствий

Полученный при построении гипотезы результат можно выразить в виде условной зависимости: если факты составляют некоторую совокупность (fl, fl, f3, . fn), то они создают ситуацию — h (их несоответствия основаниям теории). Исходя из этого строится дедуктивный вывод, заключением которого является предположение, ответственным за ситуацию h является признак — si.

Сопоставление следствий с фактами

Опровержение версии осуществляется путем обнаружения фактов, которые противоречат следствиям из гипотезы. Так, если из гипотезы Г может быть выведено множество следствий (к1, к2, . кп), то строится следующая гипотетико-дедуктив-ная схема:

Если Г, то к1, к2, . кп.

Имеет место fl, f2,. fn, где fi — противоречит и.

Следовательно, Г неверна (опровергнута).

Если противоречие не обнаружено, то это дает основание полагать, что гипотеза Г верна (т.е. подтверждена).

Гипотеза, прошедшая верификацию и фальсификацию, обосновывается и доказывается. Гипотеза, не прошедшая такую проверку, критикуется и опровергается.

Предположим, что гипотеза выражается суждением А. Она может стать логическим основанием для следствия В. Логический механизм проверки гипотезы можно описать следующим образом:

1. Импликацию типа «Если А, то В» принимают как одну из посылок условно-категорического умозаключения;

2. Вторая посылка образуется в результате проверки следствия и составляет ее отрицание в виде не-В.

3. Отрицание следствия соответствует схеме отрицательного модуса условно-категорического умозаключения, имеющего следующий вид: (Если А, то В) и В.

4. Последнее утверждение признается как выражение ложности гипотезы А;

5. Использование в качестве второй посылки утвердительного суждения В (соответствующего истинному следствию из А) равносильно признанию истинности гипотезы.

В соответствии с этим можно сформулировать две схемы проверки гипотезы.

Схема опровержения гипотезы:

Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А

Схема подтверждения гипотезы:

Если А, то В. В. Следовательно, А.

Прохождение указанных выше этапов делает гипотезу таким положением, которое становится основанием теории. Общие формы подтверждения и неподтверждения гипотезы могут быть рассмотрены в виде процедур доказательства и опровержения.

Глава 4

КЛАССИЧЕСКАЯ (символическая) ЛОГИКА

Вторая часть настоящего учебника представляет собой элементарное введение в символическую логику.

Символическая логика возникла в результате применения к проблемам формальной логики строгих методов, сходных с теми, которые используются в математике. С помощью специального языка формул достигается адекватное описание логической структуры доказательства и осуществляется построение строгих логических теорий.

Искусственный логический язык не содержит омонимических выражений, в нем применяются наиболее экономные и хорошо обозримые способы записи. Являясь инструментом, с помощью которого осуществляется анализ и синтез логических структур, выявляются и фиксируются различные средства получения выводного знания и способы построения доказательных рассуждений, он строится с таким расчетом, чтобы его синтаксические связи однозначно соответствовали логическим связям, а правила преобразования предложений (формул) — логическим преобразованиям. В результате манипуляции с символами искусственного логического языка получают значение логических операций с мыслями.

Символическую логику называют также математической логикой. Но не нужно думать, что в ней исследуются логические вопросы, имеющие значение для одной только математики, что методы современной символической логики являются математическими в собственном смысле слова.

Независимо от математики в самой формальной логике, начиная с момента ее возникновения, разрабатывался и постепенно совершенствовался формальный аппарат. Аристотелю принадлежит открытие формального рассмотрения логики, существенным моментом которого является введение в нее переменных (задолго до того, как последние стали применяться в математике). И дело, конечно, не в использовании буквенных обозначений. Стоики, например, в качестве переменных для суждений употребляли порядковые числительные. Важная сторона анализа логической структуры мысли, связанная с введением переменных, состоит в том, что этим обеспечивается возможность абстрактного рассмотрения и формулирования логических законов и правил вывода в общем виде. Другое выдающееся достижение Аристотеля — аксиоматическое построение теории силлогистического вывода — также на десятилетия опередило использование аксиоматического метода в «Началах» Евклида.

Формальная техника силлогистики Аристотеля и логические представления стоиков получили дальнейшее развитие и усовершенствование в средневековой логике, крупнейшими представителями которой были Петр Абеляр (1079—1142), Петр Испанский (1215(?)—1277), Иоанн Дуне Скот (1266—1308), Раймунд Луллий (1235—1315), Уильям Оккам (1300—1349), Жан Буридан (1300—1358). Основоположником символической логики по праву считают Г.В. Лейбница (1646—1716). Логические идеи этого выдающегося немецкого философа, математика и общественного деятеля не получили должного признания ни у его современников, ни у большинства логиков в XVIII и XIX вв. Главный недостаток всей предшествующей логики заключается, по мнению Лейбница, в отсутствии строгого и точного логического языка, продуманной системы формализации. Он выдвигает широкий проект формализации всего научного знания на основе универсального искусственного языка, благодаря которому содержательные рассуждения можно было бы заменять формальными преобразованиями выражений этого языка. Несмотря на то, что мечта Лейбница о полной формализации научного знания, как показало последующее развитие логики и математики, не может быть осуществлена, его понимание значения искусственного языка в качестве инстру-

мента научного познания и требование широкого использования его для моделирования различных видов интеллектуальной деятельности близки по своему духу научной практике сегодняшнего дня.

Лейбниц первым в истории науки стал строить логические исчисления. Он значительно расширил круг проблем античной и средневековой логики, формализовал расширенную силлогистику я дал ей арифметическую интерпретацию, занимался логикой отношений, установил аналогию между логикой и алгеброй, исследовал связь между категорическими и условными суждениями, пытался сформулировать основные принципы логики и осуществить аксиоматическое построение логической системы. Кроме Лейбница из предшественников современной символической логики должны быть названы Г.П. Плукэ (1716—1790), И.Г. Ламберт (1728—1777), Ж.Д. Жер-гонн (1771—1859), У. Гамильтон (1788—1856), А. де Морган (1806—1871). К их числу нужно также отнести крупнейшего логика первой половины XIX в., чешского ученого Б. Больца-но (1781—1848). Для Больцано логика — это преимущественно теория науки. Исследуя ее, он употреблял частично формализованный язык, состоящий из обычного разговорного языка, расширенного различными логическими константами, переменными и техническими терминами, которым в большинстве случаев дается точное определение. Только нормализовав языковые выражения, сведя их к каноническим формам, полагал Больцано, можно добиться чисто формальной трактовки логики. Значительнейшим научным достижением чешского ученого была его теория логического вывода, детально развитая и отвечающая высоким критериям научной строгости.

Однако начало систематическому развитию символической логики было положено работами английского математика Д. Буля (1815—1864). Идеи, содержавшиеся в его книгах «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли» (1854), стали исходным пунктом дальнейшего развитая логики. Изложенная в них формальная система «исчисления логических равенств», являясь далеко идущим обобщением аристотелевской силлогистики, вооружала развитой техникой решения ряда общих задач логики классов. Так, например, им был развит общий метод для получения следствий

из любого числа посылок с любым числом терминов. Свою формальную систему Буль называл «алгеброй логики». Он исследовал ее связь с обычной алгеброй и интерпретировал не только как логику классов (терминов), но и как логику суждений (предложений) и как логику вероятностей (исчисление вероятностей). Буль подчеркивал значение для точной науки искусственного языка, содержащего набор символических средств и способов оперирования с ними, который подобно живому разговорному языку являлся бы инструментом рассуждения, но отличался бы большей точностью. По его мнению, закономерности оперирования с логическими символами должны отражать законы человеческого мышления.

Созданная Д. Булем «алгебра логики» получила дальнейшее развитие в трудах У.С. Джевонса (1835— 1882), Э. Шредера (1841—1902), Д. Веяна (1834—1923) и других логиков конца XIX в. Ее формальная техника подверглась переработке и систематизации, а логические идеи — обобщению и углублению. Существенную роль в совершенствовании ряда теоретических и технических аспектов алгебры логики сыграли работы казанского математика и астронома П.С. Порецкого (1846-1907).

Большое значение для формирования современных представлений о предмете и методах символической логики имели работы выдающегося немецкого ученого Г. Фреге (1848— 1925). Опубликованная в 1879 г. его книга «Исчисление понятий» содержала изложенную аксиоматическим методом при помощи специального искусственного языка строгую логическую теорию. В этой работе Фреге впервые дает непротиворечивую трактовку логических переменных, логических и внелогических констант, логических функций и кванторов, логических аксиом и правил вывода, понятия доказательства и доказуемого предложения. Свое исчисление понятий он применяет к анализу оснований математики, стремясь дать логическую интерпретацию основным понятиям теории множеств и арифметики. Развитая им общая теория смысла и значения языковых выражений оказала большое влияние на исследования в области логической семантики. Выдающиеся достижения Фреге в области логики позволяют считать его основоположником современной логики.

Большую роль в распространении и дальнейшем развитии идей Фреге сыграл трехтомный труд английских ученых Б. Рассела (1872—1970) и А.Н. Уайтхеда (1861—1947) «Principia mathematica» (1910—1913). Крупнейшие результаты, определившие современное состояние этой науки, были получены в 30-х годах XX в. К. Гёделем (Австрия), А. Тарским (Польша), Г. Генценом (Германия) и А. Чёрчем (США). Значительный вклад в развитие современной логики внесли советские ученые А.И. Колмогоров, П.С. Новиков, А.И. Мальцев, А.А. Марков, Н.А. Шанин и др.

В настоящее время символическая логика — это интенсивно развивающаяся наука, которая включает ряд самостоятельных теорий и независимых направлений исследования. В последние годы символическая логика получила разнообразные применения во многих областях науки и техники: в математике и кибернетике, биологии и лингвистике, педагогике и праве, философии и социологии.

4.1

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

(Логика высказываний или пропозициональная логика)

Высказывания и формы высказываний

Высказыванием называют предложение, выражающее суждение. Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Например, предложения: Ленинград — большой

город; Все деревья — растения и Если являются

истинными высказываниями, а предложения Париж — столица Англии; Некоторые киты —рыбы и Если 7простое число, то 7 четное число являются ложными высказываниями. Будем считать, что: а) всякое высказывание истинно или ложно и б) ни одно высказывание не является сразу истинным и ложным.

Истинность и ложность называют логическими, или истинностными, значениями высказываний. Если высказывание истинно, то говорят, что оно имеет логическое значение «истина», а если высказывание ложно, то говорят, что оно имеет логическое значение «ложь».