3.5.4. Виды доказательств

Существуют два основных вида доказательств; прямые доказательства и косвенные доказательства. Оба они широко представлены в науках, пользующихся дедуктивными процедурами, и особенно в математических дисциплинах.

Прямым называется такое доказательство, когда из принятых предпосылок по установленным правилам непосредственно следует тезис, требующий доказательства. Иначе говоря, в цепочке умозаключений, представляющей собой прямое доказательство, последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательство, что 1972 год был годом високосным, основано на последовательности таких рассуждений: 1) високосным назьюается год, в числовом выражении которого десятки с единицами делятся на 4; 2) 72 делится на 4; следовательно, 1972 год является високосным годом. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании определения и одного истинного утверждения, принятых в качестве оснований нашего доказательства.

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательствами от противного», или «апагогическими», т. е. «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание — антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего не-

обходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, привлекаясь только на заключительной стадии. -~

Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допускаем, что имеет место (истинно) не-А (антитезис) ; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; из ложности следствия В заключаем ложность его основания, т. е. ложность утверждения не-А; на основании закона исключенного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и являлось целью доказательства.

Легко увидеть, что переход от ложности следствия к ложности его основания был совершен в соответствии с отрицающим модусом условно-категорического силлогизма:

Если А, то и не-В; В. Следовательно, не-А.

Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство — это такой вид рассуждений, при котором доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают об истинности тезиса.

В качестве примера использования косвенного доказательства приведем доказательство геометрической теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их ни продолжали». Для начала доказательства сформулируем утверждение, противоречащее теореме: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются». Следствием из этого допущения будет являться утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, так как ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего возможность опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т. е. принятого нами допущения о пересечении двух перпендикуляров к одной и той же прямой. Итак,

мы имеем два противоречащих утверждения: теорему и принятое нами допущение, из которых одно, а именно, допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.

В данном примере следствие, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанным утверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенном доказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногда вообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредством приведения к абсурду (нелепости)» (reductio ad absurdum).