3.4.4. Аксиома силлогизма

(dictum de omni et de nullo)

Эта аксиома формулируется следующим образом: если известно, что свойство Р принадлежит (или не принадлежит) каждому из предметов, образующих данное множество, то это свойство будет принадлежать (или не принадлежать) и любому индивидуальному предмету, относимому к этому множеству.

Если известно, что каждый предмет множества Л обладает свойством Р, то это означает, что любой предмет, относящийся к множеству Л (фиксированный ранее и нефиксированный), обладает свойством Р. И наоборот, если известно, что каждый предмет множества А не обладает свойством Р, то это означает, что любой предмет, относящийся к множеству А (фиксированный ранее или нефиксированный), не обладает свойством Р.

Так, если известно, что любая жидкость обладает свойством упругости (Р), то, выяснив, что ртуть может быть отнесена к множеству жидкостей, можно утверждать, что и ртуть обладает свойством упругости (Р).

Это рассуждение можно сформулировать в виде силлогизма:

Все жидкости (М) упруги (Р). Ртуть (S) — жидкость (М). Следовательно, ртуть (S) упруга (Р).

Отношение между терминами в приведенном выше силло-

гизме можно представить как отношение соответствующих объемов понятий. А именно: если объем понятия М входит в объем понятия Р, а объем понятия S входит в объем понятия М, то объем понятия S необходимо будет входить в объем понятия Р. Применительно к рассматриваемому примеру это означает: если жидкости (М) входят в объем упругих тел (Р), а ртуть (S) входит в объем жидкостей — (М), то ртуть (S) необходимо входит в объем упругих тел (Р).

Эти отношения между объемами М, Р и S можно изобразить графически. Аналогично, если известно, что ни одному млекопитающему не присуще свойство «дышать жабрами», то это означает, что дельфины, зубатки и др. не дышат жабрами, поскольку они принадлежат к классу млекопитающих.

В основе силлогистических умозаключений лежит совместимость или несовместимость свойств предметов и соответственно с этим объединение или разъединение предметов или множеств предметов: предметы, обладающие одним и тем же свойством Р, объединяются в одно и то же множество, предметы же, часть которых обладает свойством Р, а часть которых не обладает свойством Р, должны быть отнесены к различным множествам.

Эти тривиальные положения, позволяющие устанавливать совметимость (полную или частичную) ипянесовместимость (полную или частичную) двух множеств, и формулируются в аксиоме силлогизма. Установление совместимости или несовместимости двух множеств в силлогизме производится не непосредственно, а через посредство среднего термина (это положение зафиксировано в определении силлогизма). В приведенном выше примере совместимость ртути и упругих тел доказывалась через посредство среднего термина, обозначающего

жидкости: ртуть включалась в объем упругих тел именно потому, что все жидкости обладают свойством упругости, а ртуть как жидкость также должна была быть отнесена к числу упругих тел.

При этом всегда будет предполагаться, что нахождение определенного предмета среди исследуемой области (области х), обладающего определенным заданным заранее свойством Р, означает существование такого предмета в исследуемой области и одновременно означает возможность образования суждения вида: «Некоторые х обладают свойством Р» или (что то же самое): «Существует такой х, который обладает свойством Р».

Аксиомы силлогизма в данной логической теории недостаточно для вывода всех видов силлогистических умозаключений: наряду с определением силлогизма аксиома силлогизма лежит в основе установления совместимости или несовместимости двух множеств, обозначаемых большим и меньшим термином в заключении силлогизма.