5. Ознакомление учащихся с функциональной зависимостью

Содержание курса математики начальной школы позволяет сформировать у младших школьников представление об одной из важнейших идей математики – идее соответствия.

Выполняя задания на нахождение значений выражений, заполняя таблицы, учащиеся устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате выполнения действия. Так, например, при вычитании числам 5 и 3 соответствует число 2, числам 1 и 1 – 0, а числам 2 и 4 не соответствует ни одно число, так как выражение 2 - 4 невыполнимо на множестве целых неотрицательных чисел.

Заметим, что эту работу удобно проводить над таблицами, содержащими выражения с одним не изменяющимся компонентом действия.

При выполнении заданий «В частном а : 6 подставь вместо а три числовых значения и вычисли значение выражения при этих значениях а», учащиеся неявно используют условие выполнимости деления на множестве целых неотрицательных чисел. Здесь фактически идет речь об области определения функции.

В начальном курсе математики учащиеся имеют возможность ознакомиться с тремя способами задания функции: табличным, словесным, аналитическим. Например, при выполнении задания: «Рассмотри, как получены в таблице числа второй строки из чисел первой строки и заполни таблицу»:

а а	2 1	3 2	4	2	3	4
33 · а	6 3	9 6	1

Словесно формулируя зависимость между числами первой и второй строк таблицы, заполняя таблицу, ученики фактически задают функцию у = 3 а.

При изучении табличных случаев ±2, ±3, ±4 учащиеся неявно пользуются композицией функций, прибавляя и вычитая число по частям. Например, чтобы к числу прибавить 3, надо к этому числу сначала прибавить 2, а затем еще 1.

Фактически здесь речь идет о композиции: y (х) = f (φ (х)), где y (х) = Х. + 3, φ (х) = Х. + 2, f (φ (х)) = φ (х) + 1.

С функциональными зависимостями учащиеся знакомятся и при решении задач.

Это зависимость между:

- скоростью и расстоянием (при одинаковом времени движения),

- временем движения и расстоянием, пройденным за это время (при равномерном движении),

- ценой и стоимостью покупки,

- длиной прямоугольника и его площадью (при неизменной ширине) и некоторыми другими величинами.

Основными видами функциональной зависимости, изучаемыми в начальных классах, являются прямая и обратная пропорциональности. Примерами функциональной зависимости также является множество многоугольников с множеством чисел, характеризующим количество углов (вершин, сторон) в них. Это используется в учебнике математики для 1 класса, где изучение многоугольников происходит параллельно с изучением чисел первого десятка.

С введением буквенной символики, когда появляется возможность задавать функциональные зависимости формулой, можно выполнять упражнения, в которых требуется найти, например, сумму 5 + а, если а принимает значения 5, 7, 11, 16, т. е. найти значения функции при заданных значениях переменной.

Введение этого материала в курс математики начальной школы считается актуальным с точки зрения преемственности с изучением алгебры в основной школе.