5. Изучение уравнений

Понятие уравнения занимает особое место в ряду алгебраических понятий, изучаемых в начальных классах. Оно тесно связано с понятием выражения, переменной, равенства.

Равенство с неизвестным числом называют уравнением. Например: 34 + х. = 45.

Решить уравнение – значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Это число называется корнем уравнения.

Изучение понятия уравнения осуществляется в начальной школе в несколько этапов, рассматривается два способа решения уравнений.

Вначале проводится подготовительная работа, выполняются разнообразные упражнения с «окошечками» используется способ подбора.

Непосредственно решение уравнений осуществляется:

1. Способом подбора.

1. Способом использования взаимосвязи компонентов действия.

Способ подбора. Из заданных значений или из произвольного множества чисел подбирается подходящее значение неизвестного числа. При этом выбранное число должно при подстановке в выражение превращать его в верное равенство. Например: из чисел 3, 5, 6, 7, 10 подбери такое значение х., при котором равенство х. + 3 = 10 будет верным.

При решении методом подбора у учащихся формируется осознанное представление о том, что значит решить уравнение (найти такое число, при подстановке которого в данное уравнение получается верное равенство).

Накопление учащимися опыта решения уравнений позволяет им усовершенствовать (с помощью учителя) методику подбора значений неизвестного. При решении, например, уравнения 5 – х. = 3, ученик может определить, с какого числа целесообразнее начать подбор. Начнем с числа, которое не больше 5, так как при значениях, больших 5, действие 5 - х. на множестве целых неотрицательных чисел невыполнимо. Таким образом, решение уравнений становится более осознанным.

Одновременно идет работа по чтению и оформлению записи решения уравнения.

Способ использования взаимосвязи компонентов действий. Используется правила взаимосвязи компонентов действий при решении уравнения:

1) 6 + Х. = 13

Имеем неизвестным второе слагаемое. Вспоминаем правило, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы (значения суммы) вычесть известное слагаемое.

Значит, Х. = 13 – 6

Х. = 7.

2) 8 – х. = 5, неизвестно вычитаемое, чтобы его найти, надо из уменьшаемого вычесть разность (значение разности).

х. = 8 – 5

х. = 3

3) х. – 3 = 5, неизвестно уменьшаемое, чтобы его найти, надо к вычитаемому прибавить разность (значение разности).

х. = 3 + 5

х. = 8

4) 72 : х. = 18, неизвестен делитель, чтобы его найти, надо делимое разделить на частное (значение частного).

х. = 72 : 18

х. = 4.

5) х. : 4 = 18, неизвестно делимое, чтобы его найти, надо частное (значение частного) умножить на делитель.

х. = 18 · 4

х. = 72.

6) Х. · 12 = 39, неизвестен множитель, чтобы его найти, надо произведение (значение произведения) разделить на известный множитель.

х. = 39 : 12

х. = 3.

Естественно, что использование правил взаимосвязи между компонентами действий способствует более быстрому решению уравнений, однако школьники часто допускают ошибки при их использовании. Поэтому, перед введением этого способа необходимо провести подготовительную работу, повторить названия компонентов действий и взаимосвязь между ними.

В программе Л.В. Занкова (учебник И.И. Аргинской) и программе «Школа 2100» (учебник Л.Г. Петерсон) практикуется знакомство с более сложными уравнениями, для решения которых правило взаимосвязи компонентов рекомендуется повторять многократно. Например: (х. - 4) · 2 – 121 = 245. Известно, что вид выражения определяется по последнему действию. В данном случае это вычитание, значит уменьшаемое

(х. - 4) · 2, вычитаемое 121, значение разности 245. Найдем уменьшаемое (х. - 4) · 2 = 245 + 121,

(х. - 4) · 2 = 366. определив порядок действий в уравнении, получаем, что данное равенство с неизвестной - произведение. Неизвестный множитель (х. - 4) = 366 : 2, х. – 4 = 183, получили уравнение, в котором неизвестно уменьшаемое. Находим его: х. = 183 + 4, х. = 187.

Вычислив значение левой части, убеждаемся, что решено уравнение верно. Подобное решение – длительный, трудоемкий процесс, требующий от учащегося высокого уровня синтеза и абстрагирования, а с существующим универсальным методом решения уравнений, с которым знакомы старшеклассники (раскрытие скобок, перенос компонентов действий слева направо), учащихся в начальной школе не знакомят.

Обучение младших школьников решению задач с помощью уравнений (алгебраический метод) является дискуссионным вопросом. В 60-е годы в курс математики начальной школы был включен этот материал, затем его убрали. В редакции учебника 2001 года решение задач алгебраическим способом вновь включено в 4 классе. В программах Л.В. Занкова, «Школа 2100», «Гармония» практикуется решение задач с помощью уравнений.

В методике преподавания математики есть рекомендации о том, как обучать детей решению задач с помощью уравнений в несколько этапов.

На подготовительном этапе учащегося обучают составлению выражений, в соответствии с текстом задачи.

На втором этапе с помощью уравнений решаются простые задачи. Традиционный учебник не содержит прямых указаний на необходимость использовать именно этот метод при решении задачи. Данный выбор делает учитель.

На третьем этапе уравнения используются при решении составных задач. В традиционной программе обучения метод решения задачи выбирает учитель.

Уравнения могут использоваться как для решения простых, так и составных задач. Последовательность составления уравнения по условию задачи может быть такой: выясняется, что известно и что неизвестно в задаче; неизвестное обозначается х. Исходя из принятого обозначения и условия задачи, составляется уравнение (здесь широко применяются иллюстрации). Полученное уравнение решается. Результат решения истолковывается в соответствии с требованием задачи.

Детям трудно научиться составлять запись задачи в виде уравнения, поэтому вначале при составлении уравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

Удобно по условию задачи делать чертеж, где на отрезках показаны связи между данными и искомым.

Например: У Оли было 12 открыток, несколько штук она подарила. Осталось 7 открыток. Сколько открыток подарила Оля?

Известно, что было 12 открыток, подарила х. открыток. Осталось 7. составим чертеж.

ß 12 à

___________[_____?__________^____________7_______________]__

А С В

Из чертежа видно, что отрезок АВ состоит из двух отрезков: АС и СВ. Это можно записать в виде уравнения: 7 + х. = 12. Решая его, получаем х. = 5, следовательно, Оля подарила 5 открыток.

В.Л. Дрозд предлагает показать учащимся, как можно составить уравнение по условию задачи, используя синтетический и аналитический методы.

Проиллюстрируем это на примере: «На книжной полке стояли книги. Мальчик взял 6 книг. Осталось 9 книг. Сколько книг стояло на полке?» Обозначим х. количество книг, стоявших на полке вначале. Тогда условие задачи примет вид: «На полке стояло х. книг. Взяли 6 книг. Осталось 9 книг». Можно составить 3 выражения:

6+9 – количество книг, которые были на полке первоначально;

х. – 6 – количество книг, оставшихся на полке;

х. – 9 – количество книг, взятых с полки.

Рассмотрев отдельно каждое выражение и соотнеся его с условием задачи, можно получить 3 уравнения:

х. = 6 + 9, х. – 6= 9, х. – 9 = 6. Решив одно из уравнений, получим ответ: на полке стояло 15 книг. В результате получается не одно, а несколько уравнений, описывающих ситуацию, представленную в задаче.

Можно привести примеры составления уравнений по задаче с использованием аналитического метода: «У мальчика было 30 рублей. Он купил несколько карандашей по 3 рубля каждый и блокнот за 15 рублей. Сколько карандашей он купил?» Обозначив х. количество карандашей, купленных мальчиком, преобразуем условие задачи: «У мальчика было 30 рублей. Он купил х. карандашей по 3 рубля каждый и блокнот за 15 рублей» По этому условию можно составить следующие выражения:

3 · х. – стоимость всех карандашей, купленных мальчиком;

30–15 – стоимость всех карандашей, купленных мальчиком.

Очевидно, что. 3 · х. =30–15. Решив это уравнение, получим ответ к задаче: мальчик купил 5 карандашей.

Для того чтобы дети умели составлять задачу по уравнениям, можно предложить следующие задания:

1. Реши задачу, составив уравнение. Составь похожую задачу по уравнению х. + 5 = 24.

1. Составь задачу по уравнению 12 – Х. = 7, используя опорные слова: было, уехало, осталось.

Для формирования у школьников умения решать задачи алгебраическим способом необходима подготовительная работа, включающая в себя задания, по составлению выражения по задаче и осознанию сущности процесса «уравнивания неравенств», т. е. преобразования неравенства в уравнение. Сравнивая два множества, ученики устанавливают, в каком из них содержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в обоих множествах было одинаковое их количество.

А.В. Белошистая отмечает, что решение задач алгебраическим методом (с помощью уравнений) является перспективным с точки зрения преемственности между начальной и основной школой.