5. Изучение равенств и неравенств

Задачи изучения темы

1. Научить устанавливать отношения «больше», «меньше» или «равно» между выражениями и записывать результаты с помощью знака.

1. Научить читать равенства и неравенства.

Два числовых выражения, соединенные знаком «=» называются равенством. Равенство может быть верным и неверным.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств. Неравенства могут быть также верными и неверными.

Методика формирования у младших школьников представлений о числовых равенствах и неравенствах предусматривает следующую этапность работы.

На I этапе, учащиеся выполняют упражнения на сравнение совокупностей предметов, используя прием установления взаимно однозначного соответствия. На этом этапе результаты сравнения еще не записываются с помощью соответствующих знаков отношения.

На II этапе учащиеся выполняют сравнение чисел. Сначала они опираются на предметную наглядность. Затем опора происходит на то свойство чисел натурального ряда. В соответствии с этим свойством: из двух различных чисел то число больше, которое при счете называют позже, и то число меньше, которое называют раньше. Установленные таким образом отношения младшие школьники записывают с помощью соответствующих знаков. Например, 3 > 2, 2 < 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами:

1) по месту их расположения в натуральном ряду;

2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов.

Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Так же можно сравнивать величины: 4 дм 5 см > 4 дм 3 см, так как дециметров в них содержится поровну, а сантиметров в первой величине больше, чем во второй. Кроме того, величины можно сначала выразить в единицах одного наименования и уже после этого сравнить их: 45 см > 43 см.

На III этапе переходят к сравнению выражений вида 3 < 3 + 1; 4 – 1 > 2; 5 + 2 = 10 – 3 и т. п.

Подобные упражнения вводятся уже при изучении сложения и вычитания в пределах 10. Их полезно выполнять с опорой на наглядность.

Например: ученики выкладывают слева четыре кружка, справа 4 треугольника

●●●● ∆∆∆∆

Дети выясняют, что кружков и треугольников поровну и записывают 4 = 4.

Затем, к фигурам слева добавляют еще один кружок

●●●● ● ∆∆∆∆

и записывают сумму 4 + 1. Слева фигур больше, чем справа, значит, 4 + 1 > 4.

Используя прием уравнивания, учащиеся переходят от неравенства к равенству. Например, на наборное полотно ставят 3 гриба и 4 белочки. Чтобы грибов и белочек было поровну, можно:

1. добавить один гриб (тогда будет 4 гриба и 4 белочки) или

1. убрать одну белочку (тогда будет 3 гриба и 3 белочки).

На наборном полотне 5 легковых и 5 грузовых машин. Чтобы одних машин было больше, чем других, можно:

1) убрать одну (две, три) машину (легковую или грузовую) или

2) добавить одну (две, три) машину.

Постепенно при сравнении выражений школьники переходят от опоры на наглядность к сравнению их значений. Этот способ в начальных классах является основным. При сравнении выражений учащиеся могут также опираться и на знания:

а) взаимосвязи между компонентами и результатом арифметического действия: 20 + 5 * 20 + 6 (слева записана сумма чисел 20 и 5, справа — сумма чисел 20 и 6. Первые слагаемые этих сумм одинаковые, второе слагаемое суммы слева меньше, чем второе слагаемое суммы справа, значит, сумма слева меньше, чем сумма справа: 20 + 5 < 20 + 6;

б) отношений между результатами и компонентами арифметических действий: 12 + 6 * 12;

в) смысла действия умножения: 6 + 6 + 6 + 6 * 6 · 3;

г) свойств арифметических действий: (7 + 4) · 3 * 7 · 3 + 4 · 3.

В этих случаях вычисления используют для проверки правильности постановки знака.

В программе не ставится задача обучения учащихся методам решения неравенств. Однако очень часто на практике, например при изучении отношения порядка на множестве натуральных чисел, используются упражнения такого вида: □ < 4; □ > 7; 3 > □.

Учащимся предлагается найти число, которое можно вставить в «окошечко», чтобы получилась верная запись (верное неравенство).

В дальнейшем неравенства становятся более разнообразными и сложными по структуре. Например, 24 + 6 < □, или 15 < 15 + □, 10 – 3 < □ – 3, при этом используется метод подбора.

После введения букв как символов для обозначения переменной неравенство принимает вид: 2 - а < 8. Такие неравенства также решаются методом подбора. Для облегчения решения неравенств задания формулируются следующим образом: «Из ряда чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 выбери те значения буквы а, при которых верно неравенство а – 2 < 12».

Затем упражнения усложняются. Ученики должны самостоятельно подобрать значения переменной, при которых данное неравенство будет верным: «Подбери такие числа, чтобы неравенства были верными:11 + у < 15; в : 7 < 4».

Повторимся, что основным методом решения неравенств с переменной является метод подбора, но может использоваться зависимость между компонентами и результатом выполненного действия, т.е. ученик сразу называет 1 – 2 числа, удовлетворяющие неравенству 5 + с > 5 + 2, но проверка происходит также методом подбора.