4. Формирование понятия переменной

Задачи изучения темы

1. Познакомить учащихся с основными понятиями современной математики: переменной, уравнением, неравенством.

1. Способствовать развитию функционального мышления, так как с понятием переменной тесно связана идея функциональной зависимости.

Впервые с упражнениями, раскрывающими понятие переменной, ученики встречаются при выполнении заданий с «окошечками» (пропусками). Использование «окошечка» не случайно, так как в современной трактовке оно обозначает знак, играющий роль «местодержателя» для имен определенного заданного множества (область значений переменной) - множества целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

В учебнике математики для первого класса встречаются записи вида 3 + □ = 5; □ + □ = 6;

5 > □; □ > 0 и др.

Задания могут быть сформулированы в разной форме, например: «Какое из чисел нужно записать в окошечко, чтобы получилась верная запись? Восстанови в записи пропущенное число».

Вначале при выполнении таких упражнений используются наглядные пособия. Затем, по мере знакомства с вычислительными приемами и правилами учащиеся отказываются от них. Используется метод подбора. Например, при нахождении числа, которое надо вставить в «окошечко» в записи 2 + □ = 5, предлагается попробовать подставить в «окошечко» поочередно числа от 0 до 4. Вначале такая работа проводится с использованием наборного полотна. Подставляя в «окошечко» карточки с соответствующими числами, учащиеся выясняют, верна или неверна запись, либо с помощью наглядных пособий, либо опираясь на знание таблиц сложения. Затем примеры такого типа решаются с устным разбором.

Раскрытию понятия переменной способствует и работа по заполнению таблиц:

Уменьшаемое	1 4	3	5 6	7	9
Вычитаемое	1 1	7	3		5
Разность		22	33	4

Подобные упражнения способствуют как совершенствованию вычислительных навыков, так и выработке представления о переменной и множестве ее значений. После заполнения таблицы учащимся можно предложить следующие вопросы: «Какие значения принимает уменьшаемое; вычитаемое; разность?» «Изменяется ли уменьшаемое; вычитаемое; разность?» «Как они изменяются?» В некоторых таблицах значения одного из компонентов могут быть постоянными. Таким образом, дети видят, что переменная может принимать не только различные, но и одинаковые значения.

Переменная присутствует и в записях вида □ + 1, с которыми первоклассники встречаются при изучении различных случаев сложения и вычитания. Следует обратить внимание школьников на эти записи и объяснить, что в «окошечко» можно подставлять любое из изученных чисел. Так, при изучении прибавления двух может использоваться запись □ + 1 + 1.

Непосредственно перед введением буквенной символики полезно рассмотреть простые арифметические задачи с пропущенными числовыми данными. Подбирая числа, учащиеся получают арифметические задачи, решение которых записывают в виде таблицы (последняя строка таблицы – выражение, являющееся решением задачи).

Второй этап формирования понятия переменной – введение букв как символов для обозначения переменной. На этом этапе широко используется сочетание индуктивного и дедуктивного методов. Осуществляя переход от числового выражения к буквенному выражению и от буквенного выражения к числовому, учащиеся тем самым обобщают смысл числовых выражений и конкретизируют его, подставляя вместо букв числовые значения.

Для раскрытия смысла букв как символов для обозначения переменной, можно использовать однотипные числовые выражения (суммы) и простые односюжетные арифметические задачи. При этом внимание учащихся акцентируется не на ответе, а на выражениях, соответствующих данным задачи: компоненты могут быть различными, но их всегда два, и выражение записывается в виде суммы.

На этом этапе учащиеся выполняют разные по форме и содержанию задания.

1. Найти числовые значения буквенных выражений при заданных значениях букв

а	3	4	7	9
а+4
а + 6

2. Подобрать числовые значения букв, входящих в выражение, значение которого задано.

2. Решить простую задачу с буквенными данными.

Работа над этими задачами осуществляется в такой последовательности:

а) в условие подставляются конкретные числовые значения;

б) решением этих задач являются числовые выражения;

в) буквенные выражения выступают как обобщенная запись решения всех задач с числовыми данными определенного вида.

Аналогично вводится запись разности двух чисел. Однако в этом случае дети учатся устанавливать, какие числовые значения могут принимать буквы, входящие в разность, что фактически является установлением области допустимых значений переменных.

На последнем этапе буквенная символика выступает как средство обобщения знаний учащихся о свойствах действий, взаимосвязях компонентов действий.

Обобщение происходит на основе неполной индукции. Учащиеся знакомятся с множеством однородных выражений. С помощью анализа, сравнения, синтеза они устанавливают общие и существенные свойства этих выражений, т. е. приходят к обобщенным теоретическим знаниям. Поэтому использование буквенной символики, как средства обобщения формируемых знаний, может осуществляться только тогда, когда учащиеся многократно наблюдали обобщаемые свойства, зависимость, формулировали их и использовали при выполнении различных упражнений.

Ученики должны придти к пониманию того, что использование буквенной символики для записи определенных зависимостей, свойств, отношений означает, что изучаемые зависимости справедливы для любых значений переменных. С этой целью необходимо выполнять следующие упражнения:

- записывать с помощью букв свойства арифметических действий и взаимосвязи компонентов действий,

- читать свойства и зависимости, записанные с помощью буквенной символики,

- выполнять тождественные преобразования выражений с переменными на основе знания свойств действий и смысла арифметических действий,

- доказывать справедливость равенства или неравенства, опираясь на знание элементов теории.

Например, для усвоения переместительного свойства умножения можно предложить следующие задания:

1. сравните выражения: 12 · 20 и 20 · 12, 70 · 11 и 11 · 70;

1. замените буквы числами так, чтобы получились верные равенства: 23 · а = а · 23. При выполнении этого задания учитывается, что одна и та же буква принимает в равенстве одно и то же значение;

1. чему равно произведение 124 · 362, если 362 · 124 = 44888? Найдите значение выражения с · т, если m · с = 96 (т и с в обоих равенствах одинаковы);

1. закончите запись т · п = п ·...

Для формирования у школьников умения доказывать справедливость полученных равенств или неравенств выполняются специальные упражнения. Например, требуется проверить равенство (а - в) · с = а · с – в · с или сравнить выражения а : (в · с) = а : в : с.

После того, как проведено доказательство, основанное на знании учащимися элементов теории, полезно предложить им убедиться в справедливости равенства или неравенства, придав буквам различные числовые значения. Лучше, если каждый ученик выберет произвольные числовые значения, тогда при проверке можно показать, что вывод, сделанный на основе применения общего правила, верен при любых значениях букв.