4.2. Цели изучения алгебраических понятий в начальной школе.

1. Элементы алгебры, особенно упражнения с функциональным содержанием, позволяют увидеть динамичность явлений реального мира, взаимную обусловленность и связь величин, а это оказывает большое влияние на формирование мировоззрения учащихся.

1. Элементы алгебры содействуют развитию логических приемов (анализ и синтез, обобщение и конкретизация, индукция и дедукция).

1. Алгебраический материал способствует расширению арсенала математических средств, используемых школьниками при решении задач.

1. Буквенная символика, вводимая в начальных классах, и связанное с ней понятие переменной содействуют обобщению знаний о числах, свойствах арифметических действий.

1. Работа по функциональной пропедевтике одного из важнейших понятий современной математики

Таким образом, алгебраический материал в курсе математики начальной школы выполняет вспомогательную функцию при изучении основного (арифметического) содержания программы.

4.3. Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определенным правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Примеры выражений: 7; 5 + 4; 5 · (3 + в); а; 40 : 5 + 6 и т. п.

Выражения вида 7; 5 + 4; 10 : 5 + 6; (5 + 3) · 10 называют числовыми выражениями. Выражения вида 8 – а; 5 · (3 + в); с, 50 : k, называются буквенными выражениями или выражениями с переменной.

Задачи изучения темы

1. Научить учащихся читать и записывать простейшие выражения.

1. Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

1. Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В методике ознакомления младших школьников с понятием числового выражения можно выделить три этапа, предусматривающие ознакомление с выражениями, содержащими:

1. одно арифметическое действие (I этап);

1. два и более арифметических действия одной ступени (II этап);

1. два и более арифметических действия разных ступеней (III этап).

Усвоение понятия выражения обусловливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Умение составлять выражение по задаче необходимо для овладения умением решать задачи алгебраическим способом, т. е. с помощью составления уравнений.

С первыми выражениями, суммой и разностью, дети знакомятся при изучении сложения и вычитания в концентре «Десяток». Не используя специальных терминов, первоклассники производят вычисления, записывают выражения, читают их, заменяют число суммой, основываясь на наглядных представлениях. При этом выражение 4 + 3 они читают следующим образом: «к четырем прибавить три» или «4 увеличить на 3», а выражение 4 – 3 – «из четырех вычесть три» или «4 уменьшить на 3». Находя значения выражений, состоящих из трех чисел, которые соединены знаками сложения и вычитания, учащиеся фактически пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования выражений.

Изучая выражения вида, а + в, первоклассники сначала применяют термин «сумма» для обозначения числа, получающегося в результате сложения, т. е. сумма, трактуется как значение выражения. С появлением более сложных выражений, например (а + в) - с, вводится иное понимание термина «сумма». Выражение, а + в называется суммой, а его компоненты - слагаемыми. При введении выражений вида а - b, а · b, а : b поступают аналогично. Сначала разностью (произведением, частным) называют значение выражения, а затем само выражение. Одновременно учащимся сообщают названия его компонентов: уменьшаемое, вычитаемое

Например, в равенстве 9 – 4 = 5

9 – уменьшаемое,

4 – вычитаемое,

5 – разность. Запись 9 – 4 также называется разностью. Можно вводить эти термины в другой последовательности: предложить учащимся записать пример 9 – 4, пояснив, что записана разность, и вычислить, чему равна записанная разность. Учитель вводит название полученного числа: 5 - тоже разность. Другие числа при вычитании называются: 9 – уменьшаемое, 4 – вычитаемое.

Запоминанию новых терминов способствуют плакаты, которые вывешиваются рядом с доской в то время, когда идет объяснение этого материала.

Для закрепления названных терминов предлагаются упражнения вида:

«Вычислите сумму чисел; запишите сумму чисел; сравните суммы чисел (вставьте знак >, < или =; вместо * в запись 4 + 3 * 5 + 1 и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их».

Необходимо, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

На этапе усвоения понятия выражения учащиеся знакомятся с выражениями, в которых используются скобки: (10 – 3) + 4, (6 – 2) + 5. Они могут быть введены двумя способами:

а) посредством текстовых задач,

б) детям предлагается составить на наборном полотне сумму и разность чисел 10 и 3, используя карточки, на которых записаны эти числа и знаки действий. Затем составленную учениками разность 10 – 3 учитель заменяет подготовленной заранее карточкой с этой разностью.

С этим видом выражений связано правило порядка действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Следующее задание: составить выражение, используя разность, число 4 и знак +. При чтении полученного выражения обращается внимание на то, что его компонентами являются разность и число. «Чтобы было заметно, что разность является слагаемым, ее заключают в скобки».

Самостоятельно конструируя выражения, дети осознают их структуру, овладевают умением читать, записывать, вычислять их значения.

В начальных классах употребляют термины «математическое выражение» (или просто «выражение») и «значение выражения», но определения этих терминов не даются. Записав несколько простейших выражений: сумм, разностей, учитель называет их математическими выражениями. Предложив вычислить эти примеры, школьникам сообщается, что числа, полученные в результате вычисления, называются значением выражения. Дальнейшая работа над числовыми выражениями состоит в том, что учащиеся упражняются в чтении, записи под диктовку, составлении выражений, заполнении таблиц, широко используя при этом новые термины.

Затем изучается порядок выполнения действий. Выражения вида: 37 – 24 + 3, 63 : 9 · 4 знакомы учащимся: они их читали, записывали под диктовку, вычисляли их значения, еще не зная правил порядка выполнения действий, но уже неявно их используя.

При первом знакомстве с выражениями вида а + b : с, a - b : с, может быть создана проблемная ситуация. Учащимся предлагается вычислить значение выражения 49 – 35 : 7. У школьников получаются различные значения этого выражения, и они сталкиваются с проблемой: какое же из них считать верным? Учитель разрешает ее, формулируя правило порядка выполнения действий в таких выражениях. Важно подчеркнуть, что при выполнении действий в таких выражениях условились выполнять вначале умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Это упрощает запись выражений: произведение и частное записываются без скобок.

Далее изучаются выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умножения или деления, затем действия сложения и вычитания.

Приемы усвоения правил порядка выполнения действий:

1. тренировочные упражнения на нахождение значения выражения;

1. специальные задания: «Вычислите с пояснениями: (45 – 30) : 5 и 45 – 30 : 5;

15 · 3 – 28 : 7; расставьте скобки так, чтобы значение выражения равнялось 105».

Необходимо сформировать у учащихся еще одно практическое умение – читать составные выражения. Осознавая смысл сложения и вычитания, как «прибавить» и «вычесть», дети говорят «к трем прибавить один». Углубляется понимание действий сложения и вычитания – «три увеличить на один». Затем учащиеся знакомятся с названием компонентов действий «первое слагаемое 3, второе слагаемое 1», и с названием результатов действий «сумма чисел трех и одного».

Составные выражения читаются в том порядке, в котором расположены действия.

Можно пользоваться алгоритмом:

1. Определяют, какое действие в выражении выполняется последним.

1. Вспоминают название компонентов этого действия.

1. Называют, чем выражены его компоненты.

Например, 12 · 3 + 7, т.к. последним выполняется действие сложение, то это сумма. Первое слагаемое выражено произведением чисел 12 и 3, второе слагаемое число 7.

Формирование понятия числового выражения тесно связано с решением текстовых задач.

Например: Лена купила 5 карандашей по 6 рублей и 10 тетрадей по 2 рубля. Сколько денег Лена заплатила за всю покупку?

В задаче содержится четыре числовых данных. Учащимся предлагается выбрать произвольные пары чисел и составить из них выражения так, чтобы их смысл можно было объяснить, исходя из условий задачи.

6 · 5 – стоимость карандашей.

2 · 10 – стоимость тетрадей.

10 – 5 – на столько карандашей больше, чем тетрадей купила Лена.

10:5 – во столько раз больше тетрадей купила Лена. Затем учитель предлагает записать сложные выражения, опираясь на составленные простые. Выражение 6 · 5 + 2 · 10 соответствует вопросу задачи «Сколько Лена заплатила

Составление выражений по условию задачи должно вестись параллельно с составлением задач по выражению.

С этой целью выполняются задания вида:

1. У Тани 6 карандашей, а у Оли 5. Какой вопрос надо поставить к условию задачи, чтобы она решалась так: 6 – 5?

1. В первый день турист прошел 20 км, во второй день – 14 км. Сколько километров он прошел за два дня? Составьте похожую задачу, которая решается так: 18 + 11.

1. Составьте задачу, в которой надо узнать, во сколько раз 15 меньше 45.

1. Составьте задачу по выражению 18:3.

Заметим, что по выражению 18 : 3 могут быть составлены задачи:

- на кратное сравнение,

- на деление по содержанию,

- на деление на равные части,

- на нахождение неизвестного множителя.

Аналогичная работа проводится и со сложными выражениями (составными задачами):

1) поставьте вопрос к условию задачи, чтобы она решалась данным выражением;

2) составьте задачу по выражению, аналогичную только что решенной задаче;

3) составьте задачу данного вида;

4) составьте задачу по выражению.