4.9. Задачи на движение.

Простые задачи на движение построены на функциональной зависимости между величинами скорость, время, расстояние. В процессе их решения зависимость должна быть осознана и усвоена, т.к. она является основой для решения составных задач данного вида.

Понятие о скорости конкретизируется в процессе решения задач типа:

«Пешеход за 3ч прошел 15 км, в каждый час он проходил одинаковое расстояние. Сколько километров пешеход проходил в час?»

«Электропоезд за 10 мин прошел 20 км, проходя каждую минуту одинаковое расстояние. Сколько километров проходил электропоезд в одну минуту?»

Здесь учащиеся знакомятся с различными единицами скорости, усваивают, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени. Для того чтобы учащиеся осознали зависимость между скоростью, временем и расстоянием, целесообразно рассматривать сразу по три взаимообратные задачи.

Скорость	Время	Расстояние
5 км / ч	4 ч	?
?	4 ч	20 км
5 км / ч	?	20 км

Полезным приемом являемся рассмотрение задач с недостающими данными: «Поезд прошел некоторое расстояние за 10 ч. С какой скоростью шел поезд?».

Типичной ошибкой при решении задач данного вида является неправильный выбор действия. Например, при решении задачи «Скорость велосипедиста 15 км / ч, какое расстояние он проедет за 3 часа?». Учащиеся решают 15 : 3; в этом случае необходимо для объяснения использовать чертеж.

/_____________/_____________/____________/

15 км 15 км 15 км

Составные задачи на движение, как и любые виды составных задач, включают разнообразные виды простых задач в различных сочетаниях. Например, «Совершая экскурсию по реке на катере, дети проплыли 66 км. При этом 2 часа они плыли со скоростью 18 км / ч, а остальной путь со скоростью 15км / ч. Сколько времени дети были в пути?». Решению этой задачи поможет таблица:

Скорость	Время	Расстояние
18 км/ч	2 ч	?	66 км
15 км/ч	?	?

При решении некоторых задач в качестве интерпретации можно использовать и таблицу, и краткую запись, и чертеж. Например: «Мотоциклист ехал 3 ч со скоростью 60 км / ч и 2 ч со скоростью 70км / ч. Какое расстояние проехал он за что время?».

Скорость	Время	Расстояние
60 км/ч	3 ч	?	?
70 км/ч	2 ч.	?

В процессе вычленения известных данных и искомой величины можно выполнить чертеж или краткую запись.

/________/________/________/__________/__________/

60 км/ч 60 км/ч 60 км/ч 70 км/ч 70 км/ч

Выбор той или иной наглядной интерпретации зависит от содержания, структуры задачи, а также обусловлен целями урока. Например, задачу «Туристы за день прошли 18 км и проехали на автобусе 2 ч со скоростью 45 км / ч. Какой путь проделали туристы?» нецелесообразно решать при помощи таблицы, т.к. она фактически не работает.

Краткая же запись поможет учащимся найти решение задачи.

Пешком - 18 км Автобусом - 2 ч по 45 км / ч

}?

При решении некоторых задач, например: «Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них может пройти это расстояние за 20 ч, другой за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?», полезно часть условия записать в виде таблицы, т.к. запись дает возможность найти скорость поездов.

Скорость	Время	Расстояние
?	20 ч	1200 км.
?	30 ч.	1200 км.

1200 : 20 = 60 (км / ч) – скорость первого поезда.

1200 : 30 = 40 (км / ч) – скорость второго поезда.

После этого приводится графическая иллюстрация.

40 км / ч 60 км / ч

→______________________________╒______________________←

1200 км

Этот чертеж дает наглядное представление о движении поездов, облегчая поиск дальнейшего пути решения.

При решении задач на нахождение четвертого пропорционального, например «Расстояние от города до поселка велосипедист проехал за три часа со скоростью

16 км / ч, возвращаясь обратно, он то же расстояние проехал за 4 часа. С какой скоростью ехал велосипедист на обратном пути?», целесообразно использовать таблицу.

Скорость	Время	Расстояние
16 км/ч	3 ч	одинаковое
?	4 ч

После решения задачи полезно обращать внимание на взаимозависимость скорости и времени (чем больше скорость, тем меньше времени затрачивается на прохождение данного расстояния и наоборот). Для этого можно предложить сравнить скорости движения велосипедиста и подумать: «Почему на обратный путь велосипедист затратил больше времени?».

Особое место занимают задачи на движение в противоположных направлениях (на сближение и на удаление). При их решении целесообразно использовать чертеж, т.к. он дает наглядное представление о характере движения и во многом облегчает поиск пути решения задачи.

Например, при анализе задачи «Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу. Через 4 часа они встретились, скорость первого пешехода – 5 км / ч, а второго –

6 км / ч. На каком расстоянии первоначально находились пешеходы друг от друга?».

Необходимо довести до сознания учащихся то, что и тот и другой пешеходы в пути были одинаковое время, для этого учащимся можно предложить ряд наводящих вопросов, например, «два автомобиля выехали навстречу друг другу, через 7 часов они встретились. Сколько времени находился в пути каждый автомобиль?». Отвечая на подобные вопросы, дети смогут самостоятельно найти оба способа решения задачи.

1. 5 · 4 = 20 (км / ч) 1) 5 + 6 = 11 (км / ч)

1. 6 · 4 = 24 (км / ч) 2) 11 · 4 = 44 (км)

1. 20 + 24 = 44 (км)

При решении задач вторым способом можно ввести термин скорость сближения, разъяснив его с помощью динамической таблицы.

5 км / ч→ /____/____/____/____╒_____/_____/_____/_____/←6 км / ч

Учитель двигает одновременно навстречу друг другу фигурки пешеходов каждый раз на одно деление. Это означает, что прошел 1 час пути. На сколько приближались пешеходы за 1 час друг к другу? 5 + 6 = 11 (км), далее учащиеся рассуждают так: «За 1 час пешеходы приближаются на 11 км, тогда за 4 ч они приблизятся на 11 · 4=44 (км)».

Работая с данной задачей целесообразно использовать различные методические приемы и, прежде всего, рассмотреть задачи, обратные данной. Их можно предложить на чертежах.

«Расстояние между пунктами 44 км. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, скорость первого – 5 км / ч, скорость второго — 6 км / ч. Через сколько часов они встретятся?»

5 км / ч→_________________╒_____________________← 6 км / ч

-----------------------------44 км------------------------

«Расстояние между пунктами 44 км. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Скорость первого пешехода - 5км / ч. Какова скорость второго пешехода?».

5 км / ч→____/_____/____/____╒_____/______/______/______←?

-----------------------------44 км-------------------------------

«Расстояние между пунктами 44 км. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Скорость второго пешехода - 6 км / ч. Какова скорость первого пешехода?».

? →____/_____/____/____╒_____/______/______/______← 6 км / ч

-----------------------------44 км-------------------------------

После рассмотрения обратных задач можно предложить учащимся вопросы:

• К какому пункту ближе произойдет встреча (если указаны обе скорости)?

• Какое расстояние будет между пешеходами через 1 час после встречи?

• Могут ли пешеходы встретиться посередине пути?

• Кто из них первый придет в конечный пункт?

Можно использовать целый ряд приемов с целью подготовки учащихся к решению более сложных задач. Например, можно изменить данные в условии задачи, например, 44 км на 60 км и спросить у учащихся «Встретятся ли пешеходы через 4 часа?». Ответ на этот вопрос будет подготовкой к решению следующей задачи: «Расстояние между пунктами 60 км. Два пешехода вышли одновременно, навстречу друг другу. Скорость первого пешехода 5 км / ч, а второго – 6 км / ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 4 часа?».

------?------

5 км / ч →___/___/___/___/________\_____\_____\_____\____←6 км / ч

--------------------------60 км-------------------------------

Аналогичный прием постепенного усложнения условия можно использовать и при решении задач; на удаление в противоположных направлениях, например: «Из одного дома в поселке вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Скорость одного из них 5 км / ч, а другого 4 км / ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 часа?». Необходимо довести до сознания учащихся то, что и тот и другой пешеходы в пути были одинаковое время.