4.3. Дроби в 4 классе

А.В. Белошистая при анализе школьных учебников определила, что в 4 классе ставится задача нахождения нескольких долей целого. Например:

«Длина отрезка 10 см. Он разделен на 5 равных частей. Сколько сантиметров в четырех пятых долях этого отрезка?»

Рассмотри чертеж и решение:

! ? !

___!__ 2см____!_________!__________!___________!___________!

! 10см !

1) Найдем, сколько сантиметров в одной пятой доле отрезка.

10см : 5 = 2 см

2) Найдем, сколько сантиметров в четырех пятых долях отрезка:

2см· 4 = 8 см

Ответ: 8 см

Работа над данным понятием идет исключительно в словесных обозначениях: детям сообщается термин и дается его практическая иллюстрация. Символьное обозначение дроби на данном этапе не рассматривается.

Детям предлагаются различные задания (в виде задач на нахождение нескольких долей числа) аналогичного характера. Например: «Начерти отрезок длиной 60 мм. Раздели его на 6 равных частей. Сколько миллиметров в пяти шестых долях этого отрезка?»

В данном случае речь идет только о пяти долях из шести имеющихся, но не о дроби ⁵/₆.

Знакомство с символикой и операция сравнения дробей рассматривается на последних страницах учебника математики для 4 класса (часть 2).

Рассматривается способ записи дробей: '/₈; ⁵/₆; ³/₅.

Правильный способ чтения этой записи и смысл каждого ее элемента: число, записанное под чертой, показывает, на сколько равных частей разделено целое; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей.

Слова «числитель» и «знаменатель» детям не сообщаются. Сравнение дробей проводится с опорой на рисунок. Следует обращать внимание на то, что необходимо сравнивать соизмеримые части одного объекта, так как для ученика начальной школы дроби - это только части объекта или множества.

Например:

1

!___________________________________________________________!

•

1 / 2

!•___________________________!_______________________________!

• 1 / 4

!_______________!____________!_______________!_______________!

•

1 / 8

!_______!_______!______!______!_______!_______!_______!_______!

•

Что больше: 1 / 8 или 1 / 4? 1 / 2или 3 / 4? 1 / 2 или 1 / 8? 3 / 8 или 5 / 8?

Отвечая на вопросы, ученики сравнивают соответствующие части равных полосок (для наглядности их можно закрасить разными цветами).

Рассуждения:

Сравниваю одну восьмую долю полоски и одну четвертую долю такой же полоски. Одна четвертая доля больше, чем одна восьмая доля одной и той же полоски.

4.4. Дроби величин

ПО мнению А.В. Белошистой задачи в начальной школе требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.

Доля - это одна из нескольких равных частей величины.

Например: «6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?»

Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 • 2 = 12 (листов).

«Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?»

Рассуждение:

Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 • 4 = 20 (мин).

«Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?»

Для ответов на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени. Сутки - это 24 часа.

Треть суток 24 : 3 = 8 (ч). Половина суток 24 : 2 = 12 (ч). Час - это 60 мин. Четверть часа 60 : 4 = 15 (мин). Год - это 12 месяцев. Четверть года 12:4 = 3 (мес.). Три четверти года

3 · 3 = 9 (мес.).

«Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?»

Рассуждение:

Третьих частей в отрезке может быть только три. 48 мм : 3 = 16 мм - длина одной третьей части.

«Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм».

Рассуждение:

Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм • 5 = 85 мм.

В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания школьником дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества. Результаты действий с дробями ребенок формирует как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке. Например:

! 3 / 4 !

1 4 1/4

1 1/4

1 1/4

1 1/4

! 1 / 2 !

Рассуждения:

Одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски - вместе две четвертых доли полоски.

Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.

Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.

Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше, чем знаменатель, например: 6 / 5; 11 / 3 и т. п.

В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) встречаются задания, в которых дети должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т. п.

А.В. Белошистая считает, что для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы.

С точки зрения используемого в начальной школе определения выражение вида 7 / 4 не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!

Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества составляет 9 детей, а 7 / 4 долей должны соответствовать количеству 64 человека - притом, что изначально их было 32!

Таким образом, при желании знакомить учеников начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие доли вообще.