4.3Оценивание с помощью доверительного интервала

В отличие от точечной оценки, интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра.

Идея оценивания с помощью доверительного интервала заключается в том, чтобы в окрестности точечной оценки попытаться построить такой интервал (доверительный интервал), который с некоторой, отличной от нуля, вероятностью (доверительной вероятностью) накрыл бы оцениваемый параметр распределения.

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Предположим, что для оценки параметра Θ удалось найти две функции Θ₁*(x₁, x₂, ..., x_n) и Θ₂*(x₁, x₂, ..., x_n), такие, что при всех (x₁, x₂, ..., x_n) и при любых значениях Θ выполняется условие

Это означает, что действительное значение параметра Θ находится в интервале значений (Θ₁*;Θ₂*) с вероятностью P.

Интервал (Θ₁*;Θ₂*) как раз и называют доверительным интервалом для неизвестного параметра Θ, а соответствующую ему вероятность P{Θ₁*≤Θ≤Θ₂*} - доверительной вероятностью (или надежностью) P=1-α, где α - уровень значимости. Если, к примеру, α=0,05, то строится доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95 (или 95-процентный доверительный интервал).

Вероятностное утверждение P{Θ₁*≤Θ≤Θ₂*} не следует понимать таким образом, что параметр Θ есть случайная величина, которая с вероятностью P попадет в интервал между Θ₁* и Θ₂*.

Любой параметр распределения Θ (в отличие от его оценок) – это детерминированная величина, неизвестная нам, но имеющая строго определенное, фиксированное значение (которое, по крайней мере, теоретически, может быть найдено при исследовании всей генеральной совокупности). Границы Θ₁* и Θ₂* (как некоторые функции от результатов наблюдений) есть случайные величины. Поэтому утверждение P{Θ₁*≤Θ≤Θ₂*} = P означает, что для данного доверительного интервала (Θ₁*;Θ₂*) вероятность содержать значение Θ равна P.

4.3.1Построение доверительного интервала для математического ожидания

Как уже было отмечено, наилучшей (состоятельной, несмещенной и эффективной) точечной оценкой математического ожидания случайной величины Х с нормальным законом распределения является ее выборочное среднее арифметическое . Поэтому за основу построения доверительного интервала для математического ожидания обычно выбирается именно эта точечная оценка данного параметра. Задача получения интервальной оценки в этом случае заключается в поиске границ такого интервала, который с заданной доверительной вероятностью P_Mx накроет действительное значение математического ожидания M_x (Рисунок 6).

Рисунок 6 - Построение доверительного интервала для математического ожидания

При построении любой интервальной оценки, в том числе и для математического ожидания, необходимо знать распределение той точечной оценки (случайной величины), которая берется за основу для построения доверительного интервала.

В математической статистике доказано, что выборочное среднее арифметическое из n независимых результатов наблюдений случайной величины, распределенной нормально с параметрами M_x и σ_x², также подчиняется нормальному закону распределения с параметрами:

Подтвердить справедливость первого равенства можно тем, что выборочное среднее арифметическое - это несмещенная оценка математического ожидания, следовательно, по определению, математическое ожидание этой оценки (выборочного среднего арифметического) равно значению оцениваемого параметра (математическому ожиданию).

Логика возникновения второго соотношения: если подсчитать выборочное среднее арифметическое по нескольким выборкам одного и того же объема, а затем найти дисперсию полученных значений, то вероятнее всего предположить, что разброс (дисперсия) выборочных средних арифметических будет меньше, чем разброс (дисперсия) самих опытных данных.

Если заранее известна дисперсия σ_x², то доверительный интервал для математического ожидания M_x рассчитывается достаточно просто. Его границы можно найти, например, следующим образом.

Поскольку случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с параметрами M(x) = M_x и σ²(x) = σ_x²/n , то соответствующая ей приведенная случайная величина

.

имеет нормированный стандартный нормальный закон распределения.

Квантиль порядка P такой случайной величины, как , определяется как:

Далее

Если в последнем соотношении неравенство, стоящее под знаком вероятности, разрешить относительно M_x, то получим

Если , то и, следовательно, , и, аналогично, если то и, следовательно, .

Таким образом, вероятность того, что выполняется неравенство

будет P = P₂ – P₁ = 1- α.

Если для примера принять P₁= 0,025 и P₂ = 0,975 (P=0,975–0,025 =0,95; α=0,05), то, поскольку z_0,025 = z_1-0,975 = - z_0,975 ,а z_0,975 = 1,96 (Таблица 4 или используя НОРМСТОБР(0,975) = 1,959961), получим

т.е. при многократном извлечении выборок (объемом n каждая) из нормально распределенной генеральной совокупности (с параметрами M_x и σ_x²) можно построить последовательность соответствующих данным выборкам интервалов, причем примерно 95% этих интервалов будут включать в себя (накрывать) истинное значение математического ожидания M_x.

При построении доверительного интервала для математического ожидания обычно принимают P₁= α/2 и P₂ = 1 – α/2, т.е. рассматривают симметричные границы относительно выборочного среднего арифметического. В инженерных приложениях для значений α обычно выбирают α = 0,1 или α = 0,05, реже α = 0,01, т.е. строят такие доверительные интервалы, которые в 90 или 95% (реже 99%) случаев накрывают математическое ожидание.

Таблица 4 - Квантили стандартного нормального распределения

Так как z _α/2= - z_{1- α/2}, то получаем, что вероятность выполнения неравенства

равна P = 1 – α/2 - α/2 = 1- α.

Следовательно, интервал является доверительным интервалом для математического ожидания M_x случайной величины с нормальным законом распределения, построенным с доверительной вероятностью P = 1- α. Границы этого интервала равны и , а половина его ширины (Рисунок 6) .

Пример 4.2. Было проведено исследование длины мотков пряжи. В процессе исследования рассмотрены n = 49 мотков и получены следующие данные: средняя длина мотка , σ(x) =26. Необходимо определить доверительный интервал с надежностью Р=0,95, объем выборки n, который необходимо выполнить, чтобы точность статистических выводов δ ≤ 2.

Рассчитаем доверительный интервал:

.

195,72≤ M_x≤ 210,28.

Необходимый объем выборки для δ = 2 составит

На практике, как правило, число измерений конечно и не превышает 10…30. При таком малом числе наблюдений фактическая дисперсия σ_x² неизвестна, поэтому при построении доверительного интервала для математического ожидания M_x используют выборочную дисперсию S_x².

Рассматриваемая величина может и не подчиняться нормальному распределению, а, например, распределению Стьюдента или гамма распределению, в этом случае формула определения доверительного интервала остается прежней за исключением того, что уже используется квантиль соответствующего распределения, а не нормального.