Обробка експериментальних даних

1. Побудуйте графік залежності L від T ², і за ним визначте прискорення віль­ного падіння (згідно із формулою (9)).

Порівняйте знайдене значення g із табличним (див. Таб.1).

2. Визначте похибки обчислень на кожному кроці експерименту та оці­ніть загальну похибку.

Контрольні запитання

1. При яких спрощуючих припущеннях отримано формулу (4)?

2. На якій відстані між центром мас та точкою опори період коливань буде найменшим?

3. Поясніть, як буде рухатись фізичний маятник, якщо точку опори роз­та­шувати в центрі мас маятника.

4. Чому у математичного маятника дві нитки?

5. Сформулюйте та доведіть теорему Гюйгенса-Штейнера.

6. Чим в даному експерименті визначається абсолютна похибка вимі­рю­ван­ня періоду коливань маятника?

7. Виведіть (4), (9), (11).

Робота 4. Вивчення законів збереження енергії та імпульсу для зіткнення куль Теоретична довідка

Рухаючись, тіла часто стикаються одне з одним. При зіткненні обидва тіла де­фор­муються, в результаті чого та кінетична енергія, що її мали тіла до зіткнення, частково або пов­ністю переходить у потенціальну енергію пружної деформації і внутрішню енергію тіл. Розрізняють два граничні види удару – абсолютно пружний і абсолютно не­пруж­ний.

Розглянемо ці процеси на прикладі пружного та непружного зіткнення в одновимірному просторі. Це значно спростить математичні викладки, не змінюючи суті. Спрощення стосується швидкості, яка в одновимірному просторі є скаляр. Зви­чай­но, в загальному випадку швидкість – це вектор.

Рис. 5

При абсолютно непружному ударі одне тіло прилипає до іншого. При цьому потенціальна енергія деформації не виникає; кінетична енергія повністю або частково перетворюється у внутрішню енергію; після зіткнення обидва тіла рухаються з однаковою швидкістю.

Припустимо, два тіла з масами m₁ і m₂ рухаються назустріч одне одному (рис. 5) із швидкостями v₁ і v₂, відповідно. Після непруж­ного зіткнення вони утво­рюють одне тіло масою m₁ + m₂, яке рухається із швидкістю v. Із закону збереження імпульсу:

m1v1 — m2v2 = (m1 + m2)v.

(1)

Звідси знаходимо швидкість тіл після зіт­кнен­ня:

v = (m1v1 — m2v2)/(m1 + m2).

(2)

При непружному зіткненні має місце лише закон збереження імпульсу. Механічна енергія при цьому не зберігається. Дійсно, повна механічна енергія системи перед зіткненням дорівнює сумі кінетичних енергій кожного з тіл:

EПОЧ .

(3)

Механічна енергія після зіткнення визначається як

EКІНЦ

(4)

При написанні другої рівності в формулі (4) ми скористалися спів­від­но­шен­ням (2). Відновлення механічної енергії зручно характеризувати за допо­мо­гою коефіцієнта К, який визначається як відношення Е_КІНЦ/Е_ПОЧ. Беручи до уваги (3), (4), отримуємо

.

(5)

Формула (5) вказує на те, що коефіцієнт відновлення механічної енергії при не-пружному ударі завжди менший від одиниці. У випадку, коли одне з тіл, скажімо, перше, до зіткнення було нерухомим (тобто v₁ = 0), К ви­значається лише спів­від­но­шенням мас тіл:

(6)

У випадку рівних мас (m₁ = m₂) та ненульових початкових швидкостей:

(6а)

Рис. 6

і залежить тільки від початкових швидкостей.

Абсолютно пружним називають удар, при якому механічна енергія системи збе­рі­гається. При пружному зіткненні тіла спочатку деформуються і їх кінетична енергія переходить у потенціальну енергію пруж­ної деформації. Потім тіла відновлюють свою форму і відштовхуються одне від одного, при цьому енергія пружної де­фор­мації знов переходить у кінетичну. Рух тіл після пружного зіткнення визначається законами збереження імпульсу та кінетичної енергії. Розглянемо цен­траль­не зіткнення двох тіл, що рухаються на­зу­стріч одне одному із швидкостями v₁₀ і v₂₀ (Рис. 6). Якщо тіла рухаються тільки по­ступально і не обертаються, то рівняння збе­реження енергії та імпульсу мають вигляд:

.	(7)
.	(8)

де v₁ і v₂ — швидкості тіл після зіткнення і вважається, що після зіткнення ті­ла рухаються вздовж тієї ж прямої, що і перед зіткненням. Перепишемо рівняння (7), (8) у такому вигляді:

,	(7а)
.		(8а)

Порівнюючи (7а) та (8а), приходимо до висновку, що

(9)

З (8а) та (9) легко визначити швидкості обох тіл після зіткнення:

(10)

У випадку, коли перше тіло до зіткнення перебувало у стані спокою (v₁₀ = 0), формула (10) приймає вигляд:

(11)

Формула (11) вказує на те, що при рівних масах (m₁ = m₂) тіла після зіткнення обмінюються швидкостями, тобто після зіткнення друге тіло зупиняється, а перше тіло рухається із швидкістю v₂₀, яку мало друге тіло до зіткнення. Чим більша різниця між масами тіл, тим менша швидкість першого і більша швидкість другого тіла після зіткнення.

Поміркуйте

1. Забивати цвяхи — справа нелегка. Куди зникає та енергія, яку ви витрачаєте на цей процес?

2. Що відбувається з імпульсом та енергією ракетки при ударі по тенісному м’ячу? Чи може ракетка теж відлетіти (якщо її слабо тримати)? В який бік? Чому?

Література

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — М.: Наука, 1979, п.п. 22, 24-26, 28.

2. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975, гл. III, п.п. 24, 25; гл. IV, п.п. 28-37.

Мета: на прикладі зіткнення куль перевірити закони збереження; розрахувати коефіцієнт розсіювання енергії та співвідношення мас куль.

Устаткування:

Рис. 7.

експериментальна установка, до якої кріпляться кулі; набір куль з різними масами та з різних матеріалів; шкали, електроний секундомір, терези.

Теоретичні основи експерименту

Експериментальну установку зображено на рис. 7. Дві кулі, 1 і 2, підвішено до стояка на струмо­провідних нитках довжини l. У нижній частині стояка розміщено дві шкали 3 та 4, за допомогою яких вимірюють відхилення куль від поло­жен­ня рівноваги.

На початку експерименту куля 1 зна­хо­диться у рівно­вазі, а кулю 2 відхиляють на кут  від верти­кальної осі і фіксують за допомогою електромагніта 5. Після вимикання електро­маг­ніта куля 2 починає руха­тись (початкова швидкість кулі дорівнює нулю). Швидкість ру­ху кулі 2 перед зіткненням визна­ча­ють за початковим кутом відхилення , виходячи з закону збереження механічної енергії .

(12)

де h — висота, на яку кулю було піднято, g — прискорення вільного падін­ня, v₂₀ — швидкість кулі 2 в точці рівноваги. Із геометричних міркувань:

.

(13)

Таким чином, якщо максимальний кут відхилення кулі дорівнює , то її швидкість в точці рівноваги визначається за формулою

.

(14)

Аналогічно, вимірявши кут відхилення кулі 1, можемо знайти її швид­кість v₂₀ одразу після зіткнення.

У теоретичній довідці ми розглянули два граничні випадки абсолютно пружного та абсолютно непружного зіткнення. В реальних експериментах під час зіткнення енергія частково розсіюється. В даній роботі вимірюється коефіцієнт розсіяння енергії , який визначається як відношення втрати енергії під час зіткнення до початкової енергії:

 = (EПОЧ — EКІНЦ)/EПОЧ .

(15)

Розглянемо випадок, коли перша куля до зіткнення перебуває у спо­кої (v₂₀ = 0). Тоді закони збереження енергії та імпульсу (7), (8) з ура­ху­ван­ням (15) будуть мати вигляд

;	(16)
	(17)

(у формулі (17) підставлено модулі швидкостей!).

Експериментальна установка дозволяє виміряти швидкості v₂₀ та v₁. Отже, виключаючи із рівнянь (16), (17) v_2, можемо знайти коефіцієнт . При однакових кулях:

(18)

З іншого боку, за відомого коефіцієнта  з рівнянь (16), (17) можна знайти відношення мас куль, що стикаються. Дійсно, розв’язуючи ці рів­нян­ня відносно v₂, m₁/m₂ отримуємо:

.

(19)