6.1.8. Інтегрування ірраціональних виразів

Інтеграли від ірраціональних функцій за допомогою підстановок, які залежать від типу підінтегральних виразів, зводяться до інтегралів від раціональних функцій.

Розглянемо основні типи ірраціональних підінтегральних виразів та підстановки, за якими вони раціоналізуються.

1.

2 .

3 .

4 .

5 .1.

5.2.

6 .

_{7 .}

де

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

_{8 .}

1)

2)

1)

2)

3)

^{4 )}

9. Підстановки Ейлера, за допомогою яких завжди раціоналізується вираз виду , де — раціональна функція.

Перша підстановка :

.

Друга підстановка :

.

Третя підстановка :

або .

10. Виокремити алгебраїчну частину з інтеграла , де — многочлен -го степеня, можна за формулою

(32)

де — многочлен n-го степеня, Коефіцієнти цього многочлена знайдемо за методом невизначених коефіцієнтів. Продиференціювавши (32) і помноживши здобуту рівність на , дістанемо:

(33)

Звідси методом невизначених коефіцієнтів знайдемо .

6.1.9. Біноміальний диференціал

Означення. Вираз виду

(34)

де і — сталі показники, — раціональні числа, називається біноміальним диференціалом.

Диференціал (34) введенням нової змінної можна перетворити на диференціал такого самого виду, але з цілими показниками.

^● Справді, беручи дістаємо

Узявши так, щоб і були цілими, знайдемо біноміальний диференціал з цілими показниками.

Далі з тотожності випливає, що диференціал (34) може бути перетворений на диференціал типу , але до нього замість входить –n, а отже, в одному з двох диференціалів показник буде додатним. Таким чином, не порушуючи загальності, можемо вважати, що і — цілі числа і  — додатне.

Т ри випадки інтегровності у скінченному вигляді біноміальних диференціалів (34)

І. — ціле число. Тоді диференціал (34) — раціональна функція.

ІІ. Тоді диференціал (34) заміною

перетворюється на раціональну функцію.

^●



ІІІ. Тоді, застосувавши заміну до виразу дістанемо:

^●



Ці випадки інтегровності були відомі ще Ньютонові. Але лише П. Л. Чебишов встановив, що інших випадків інтегровності у скінченному вигляді для біноміальних диференціалів не існує.

У разі, якщо , а p, q — цілі числа, для обчислення інтегралів від біноміального диференціала можна застосувати формули зведення.

Інтеграл можна звести до інтегралів або :

6.1.10. Інтегрування тригонометричних виразів

Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу

де — раціональна функція від

І. Універсальна підстановка

В окремих випадках можна користуватися простішими підстановками.

ІІ. Якщо інтеграл зводиться до виду

,

то застосовуємо заміну

Із цим випадком стикаємося щоразу, коли підінтегральний вираз містить парні степені і оскільки

, .

ІІІ. Якщо інтеграл зводиться до виду

,

то виконуємо заміну

ІV. Якщо інтеграл зводиться до виду

то виконуємо підстановку

.

V. Якщо інтеграл зводиться до виду

де — цілі числа, то підінтегральний диференціал є раціональна функція від і , яку можна зінтегрувати відомими методами.

Розв’язуючи здобуте рівняння відносно даного інтеграла, дістаємо:

VI. Деякі підінтегральні вирази, що зводяться до раціонального вигляду підстановками 1—4, можуть бути безпосередньо знайдені за допомогою штучних прийомів.

Тригонометричні підстановки для раціоналізації ірраціональних виразів

Інтегруючи вирази виду або , найчастіше користуються такими підстановками:

для виразів, що містять підстановкою або

для виразів, що містять підстановкою або

для виразів, що містять підстановкою або

1. 

^2.

155