6.1.7. Інтегрування раціональних дробів: інший підхід

Найпростішим класом функцій, інтеграли від яких подаються елементарними функціями, є клас раціональних функцій.

Будь-яку раціональну функцію можна подати у вигляді раціонального дробу, тобто як відношення двох многочленів:

(14)

Властивості раціональних функцій

1. Сума (різниця) раціональних функцій є раціональна функція.

2. Добуток (частка) раціональних функцій є раціональна функція.

3. Раціональна функція від аргументу, який є раціональною функцією, є раціональною функцією.

Не обмежуючи загальності, припустимо, що многочлени і не мають спільних коренів.

Означення. Якщо степінь многочлена чисельника нижчий за степінь многочлена знаменника, дріб (14) називається правильним , у противному разі дріб називається неправильним .

Якщо дріб неправильний, то, поділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна подати цей дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу.

(15)

Неправильний дріб

Многочлен

Правильний дріб

Н еправильний раціональний дріб можна подати за формулою (15):

– ,

^–

Тому

Інтегрування многочленів не становить труднощів, а тому головне — зінтегрувати правильні раціональні дроби.

Як уже відомо, будь-який раціональний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів:

1) 3)

2) 4)

Доведемо це твердження.

1. Нехай — корінь многочлена кратності . Тоді , де — многочлен, який ділиться на , і тому Рівність

(16)

справджується для будь-якого А. Із (16) маємо:

.

Візьмемо число А таке, щоб чисельник другого дробу правої частини ділився на . Дістанемо рівняння:

(17)

Із (17) знаходимо

Визначивши А, скоротимо другий дріб і, узявши

,

дістанемо

^.

Степінь чисельника буде нижчим за степінь знаменника, оскільки степінь нижчий за степінь

Якщо , то з другим дробом діємо так, як із даним:

,

де — многочлен степеня, нижчого за степінь .

У дробу знаменник уже не має кореня . Якщо є коренем кратності многочлена , а отже, і многочлена , то дріб можна розкласти так само, як і даний дріб. Якщо — корені кратності відповідно , то, виконуючи й далі описаний щойно розклад, остаточно дістаємо:

(18)

Формула (18) є формулою розкладу правильного дробу на найпростіші.

2. Нехай — прості корені многочлена тоді формула (18) записується у вигляді

(19)

Сталі А, В, …, К визначаються розглянутим раніше способом. Беручи

, (20)

знаходимо

.

Диференціюючи рівняння (20), маємо:

(21)

При із (21) випливає ,

тому

(22)

Далі маємо:

(23)

Формули (22), (23) зручніші для обчислення коефіцієнтів, оскільки похідну від утворювати легше, ніж частки від ділення

Якщо

то

а тому

(24)

Аналогічно знаходимо:

(25)

Підставляючи вирази (24), (25) у формулу (19) і домножуючи на , маємо:

(26)

Формула (26) відома під назвою інтерполяційної формули Лагранжа.

Диференціальне числення дає зручні засоби для визначення чисельників частинних дробів і в разі кратних коренів функції .

Помноживши обидві частини рівняння

,

де

,

на , дістанемо:

(27)

Якщо в рівнянні (27) узяти , то права частина зведеться до А, а в лівій частині утвориться вираз або вираз виду , границю якого можна знайти за відомими правилами. Якщо попередньо продиференціювати це рівняння, а потім узяти , то права частина зведеться до , а ліва частина дасть вираз цього коефіцієнта у двох різних формах, і т. д.

Можна також помітити, що наведене рівняння дає розклад у вигляді многочлена, розміщеного за степенями і доповненого залишковим членом , який можна визначити або за формулою Тейлора або алгебраїчним діленням.

З ауваження. Усе, щойно сказане, справджується й для випадку, коли коефіцієнти многочлена комплексні. Але якщо коефіцієнти многочлена дійсні і він має комплексні корені, то в інтегралі з’являються комплексні вирази, чого бажано уникнути.

Зазначимо, що коли — комплексний корінь кратності многочлена , то і спряжене з комплексне число буде коренем цього многочлена такої самої кратності.

3. Нехай многочлен має комплексні корені. Тоді обидва члени і їх інтеграли при тобто числа

будуть комплексно спряженими, а отже, сума їх дійсна.

При маємо:

(28)

Беручи

дістаємо в інтегралі (28) вираз

або, за відомими формулами:

що після спрощення зводиться до інтеграла

(29)

Інтеграл (28) можна дістати іншим способом, скориставшись (19). Зводячи дроби до спільного знаменника у виразі (19), дістаємо:

Оскільки , маємо (29).

Інтеграл обчислено в попередньому прикладі.

О бчислити , де — многочлен степеня, меншого за .

^● За формулою Тейлора маємо:

.

Звідси

,

а тому

(30)

(31)

Розклад дробу на найпростіші можна дістати також за теоремою, яку наводимо без доведення.

Теорема 2.6. Раціональний дріб

в якому

— взаємно прості поліноми степенів а

— поліном степеня, нижчого за степінь добутку , може бути розкладений на суму двох дробів:

де — поліноми степенів, нижчих за степені відповідних знаменників.