Площина

22. Узявши ребра тетраедра за координатні осі, знайти рівняння площин, кожна з яких проходить через ребро і середину протилежного ребра. Довести, що ці шість площин перетинаються.

23. Знайти рівняння площини, що проходить через точки

а) М₁(2, 1, 1), М₂(–1, 2, 1) і М₃(2, 2, 1);

б) М₁(1, 1, –3), М₂(2, 0, – 3), М₃(1, –1, –1).

24. Знайти рівняння ребер тетраедра з вершинами в точках М₁(1, 1, 1), М₂(–1, 1, 1), М₃(1, –1, 1) і М₄(1, 1, –1).

25. Знайти площину, що утворює на осях відрізки завдовжки 2, 3 і 4.

26. Знайти відрізки на осях, що визначають площину .

27. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М(1, 2, – 1) і утворює на осях Ох і Oz відрізки, що дорівнюють відповідно 2 і 1.

28. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М(1, 2, 1) і утворює на осях Ох і Оy відрізки, які дорівнюють відповідно 2 і – 3.

29. Знайти косинуси лінійних кутів тих двогранних, які утворені площиною з координатними площинами, та косинуси кутів зазначеної площини і з осями координат.

30. Знайти кути, утворені перпендикуляром до площини з осями координат.

31. Через точку М(1, – 1, 1) провести площину перпендикулярно до прямої , .

32. Через точки М(1, 1, 1) і М₁((2, 2, 2) провести площини перпендикулярно до площини .

33. Через точки М(2, 0, 0) і М₁(0, 2, 0) провести площини під кутом 45 до площини .

34. З’ясувати, як розміщені точки М₁(2, 1, 1), М₂(2, 1, 3) — по один бік від площини або по різні її боки.

35. Визначити, чи лежить початок координат всередині тетраедра, заданого площинами , , , .

36. Знайти об’єм тетраедра, заданого умовами попередньої задачі.

37. Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках М₁(1, 1, 1), М₂(– 1, 1, 1), М₃(1, – 1, 1), М₄(1, 1, –1).

38. Знайти відстань від точки М(2, 1, 1) до площини .

39. Знайти відстань від точки М( –1, 2, 1) до площини .

40. Знайти відстань від точки М(х₀, у₀, z₀) до площини , знаючи, що це точка, відокремлена від початку координат даною площиною.

41. Знайти відстань між паралельними площинами , .

42. Знайти відстань між паралельними площинами , .

43. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від площин і .

44. Знайти площину, рівновіддалену від двох паралельних площин , .

45. На лінії перетину площин , знайти точку, рівновіддалену від паралельних площин , .

46. Знайти об’єм тетраедра , , , .

47. Через точку перетину площин , , провести площини паралельно площині , не знаходячи зазначеної точки.

48. Знайти рівняння сфери з центром у точці (3, – 2, 30), коли відоме рівняння дотичної площини .

49. Знайти площу трикутника, вершини якого М(1, –1, 1), М₁(2, 1, – 1) і М₂(– 1, – 1, – 2).

50. Знайти площу трикутника, вершини якого М₁(1, – 1, 2), М₂(– 1, 2, 1), М₃(–1, 1, 1).

51. Відомо, що площини , , перпендикулярні до однієї площини. Знайти l за умовою, що площини перетинаються по прямій.

52. Знайти точку перетину площин , , .

53. Через точку (1, 4, 1) провести площину, дотичну до парабол у = 0, і , .

54. Знайти площини, які проектують прямі і на площини координат.

55. Знайти площини, які проектують пряму , на площини координат. Подати рівняння прямої у вигляді пропорції.

56. Подати у канонічному вигляді рівняння прямих:

57. Знайти кути, утворені прямими

і

з осями координат і між собою.

58. Знайти кут між прямими

і

59. Знайти кут між прямими

і

60. Знайти кут  між прямою , і площиною .

61. Провести пряму через точки М₁(2, 1, 2), М₂(1, 2, 1).

62. Провести пряму через точки М₁(3, 0, 1), М₂(– 1, 2, 2).

63. Провести пряму через точки: 1) М(2, 1, 3), М₁(1, 1, 2); 2) М(1, 2, 1), М₁(1, 2, 3).

64. Провести пряму через точки: 1) М(1, 2, 1), М₁(1, 3, 2); 2) М(2, 1, 1), М₁(3, 1, 1).

65. Через точку М(1, 2, 1) провести пряму, перпендикулярну до площини .

66. Через точку М(– 1, 1, 2) провести пряму, перпендикулярну до площини .

67. Через точку М(1, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямих:

1) ; 2)

68. Через точку М(2, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямої , .

69. Через точку М(2, 1, 1) провести прямі, паралельні прямим

,

70. Через точку М(1, 2, 1) провести прямі, паралельні прямим

71. Через точку М(–1, 2, 1) провести пряму, паралельну площинам , .

72. Через точку М(2, 1, 1) провести пряму, паралельну прямій , .

73. Через точку М(1, 1, 2) провести площину, паралельну прямим , .

74. Через точку М(1, 2, 1) провести площину, паралельну прямим

75. Через точку М(2, 1, 1) провести площину, паралельну прямим

.

76. Через пряму , і точку М(2, 1, 1) провести площину.

77. Через пряму , і точку М(1, 1, 2) провести площину.

78. Через пряму , провести площину, перпендикулярну до площини .

79. Через пряму провести площину, перпендикулярну до площини .

80. Через пряму провести площину, паралельну прямій , .

81. Провести площину через точки М₁(2, 1, 1), М₂(– 1, 2, 2), М₃(4, 3, – 1).

82. Знайти рівняння проекції прямої , на площину .

83. Знайти точку перетину прямої з площиною .

84. Знайти проекцію точки М(2, 1, 1) на пряму .

85. Знайти проекцію точки М(– 1, 2, 0) на площину .

86. Визначити l у рівнянні прямої так, щоб ця пряма перетинала пряму .

87. Знайти прямі, що належать площині та перпендикулярні до прямої яка лежить у тій самій площині.

88. Через точку перетину площини з прямою провести пряму, що лежить у цій площині й перпендикулярна до даної прямої.

89. Знайти рівняння та довжину перпендикуляра, опущеного з точки М(0, –1, 1) на пряму , .

90. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих

і

91. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих

х = 0, у = z і z = 0, x + y –1 = 0.

92. Знайти найкоротшу відстань між прямими

та .

93. Знайти найкоротшу відстань між прямими

та

94. Знайти найкоротшу відстань між прямими , та рівняння їх спільного перпендикуляра.

95. Записати рівняння проекцій перпендикуляра з точки М(2, 1, 1) на площину , на площини хy, xz, yz.

96. Через точку М(1, – 1, 1) провести пряму так, щоб середина її відрізка між площинами і лежала на прямій .

97. Знайти рівняння площини, в якій лежать прямі та .

98. Переконавшись, що прямі

та

перетинаються, знайти площину, в якій вони лежать.

99. Знайти прямі, що перетинають прямі

та

і паралельні площині х + y + z = 0.

100. Знайти прямі, які перетинають прямі

та та

101. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих і .

102. Знайти рівняння геометричного місця прямих, що проходять через точку М і перпендикулярні до прямої .

103. Знайти прямі, які перетинають прямі

а також їх геометричне місце.

104. Знайти геометричне місце прямих, які проходять через вісь Ох і паралельні прямій .

105. Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є початком координат, а напрямна задана рівнянням і .

106. Знайти загальне рівняння поверхонь другого порядку, які перетинаються площиною xOy по кривій .

107. Знайти рівняння поверхні другого порядку, на якій лежать кола .

108. Показати, що рівняння задовольняють лише такі точки, що лежать на прямій , .

109. Показати, що рівняння задовольняють лише координати точки М(– 1, 1, 1).

110. Скласти рівняння другого порядку, які задовольняють лише координати точки М(2, 1, 1).

111. Знайти прямі, по яких поверхня конуса перетинається площиною .

112. Знайти твірні поверхні , які проходять через точку (1, 1, 1).

113. Знайти прямі, паралельні твірним поверхонь і .

114. Знайти центр поверхні . Перетворити рівняння, перенісши початок координат у знайдений центр.

Спростити рівняння поверхонь та записати відповідні формули перетворення координатних осей.

115. .

116. .

117. .

118. .

119. .

120. .

121. .

122. .

123. .

124. .

125. .

126. .

127. .

128. .

129. .

130. .

131. .

132. .

Спростити рівняння поверхонь:

133. .

134. .

135. .

136. Через пряму провести площину, яка перетинає поверхню по рівнобічній гіперболі.

137. Через точку (, , ) провести площину, що перетинає еліпсоїд по еліпсу, з центром у тій самій точці.

138. Знайти координати вершини параболи, утвореної в результаті перетину циліндра площиною .

323