Поверхні другого порядку

1. Обчислити визначник , де а, b і с — косинуси кутів, утворених прямою з осями прямокутної системи координат.

2. Скориставшись теорією проекцій, обчислити кут між протилежними ребрами правильного тетраедра.

3

Рис. 3.69

. У паралелепіпеді, усі ребра якого дорівнюють 1, дано кути = 60, = 120 і = 120. Визначити довжину діагоналі АD та її кут зі стороною ОС (див. рисунок).

4. Знайти відстань між точками М₁(2, 1, 2) і М₂(1, 2, 1) у прямокутній системі координат

5. Знайти відстань між точками М₁(1, 1, 2) і М₂(2, 1, 1), якщо дано кути між осями координат: = 60, = = 90.

6. Знайти косинус кута між прямими, розміщеними в площинах, які поділяють відповідно кути xOy і zOx пополам. Осі координат прямокутні.

7. Знайти об’єм паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1, 1 і 2, а плоскі кути, що утворюють деякий тригранний кут, становлять 120, 150 і 60.

8. Знайти косинуси кутів між діагоналями куба, напрямленими так, що проекції їх на деяке ребро збігаються.

9

Рис. 3.70

. Знайти косинуси кутів, утворених діагоналями прямокутного паралелепіпеда OAEDCBGF зі сторонами ОD, ОА і ОС завдовжки відповідно 1, 2 і 3, якщо діагоналі й сторони напрямлені так, як зображено на рис. 3.70.

10. Знайти кути між діагоналями паралелепіпеда, заданого умовою поперед­ньої задачі.

11. На відрізку прямої, що сполучає точки М₁(1, 2, – 1) і М₂(– 1, 2, 1), знайти точку М, яка лежить між точками М₁ і М₂, причому .

12. Знайти точку М на прямій, яка сполучає точки М₁(1, 2, – 1) і М₂(–1, 2, 1), що не лежить між точками М₁ і М₂, коли .

13. Дано тетраедр, ребро якого дорівнює 1. Узявши за координатні осі ребра цього тетраедра, що виходять з однієї вершини, знайти координати середин його ребер і проекцій вершин на протилежні грані.

14. Знайти точки А, В, С на трьох координатних площинах так, щоб трикутна піраміда тетраедр ОАВС (О початок координат) була правильною з довжиною ребра l.

15. Косинуси кутів між старими і новими осями прямокутної системи координат наведено в таблиці. Початок координат нової системи міститься в точці (1, 2, 3). Скласти формули переходу від старих координат до нових.

Старі координати	Нові координати
	Х1	Y1	Z1
X
Y
Z		0

16. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точок М₀(х₀, у₀, z₀) і М₁(х₁, у₁, z₁) у прямокутній системі координат.

17. Записати рівняння сфери із центром у точці (2, 1, 0) і радіусом, що дорівнює 2.

18. Знайти координати центра та радіус кулі .

19. Якими кривими є лінії перетину циліндрів і ?

20. Знайти точки перетину поверхонь:

а) , , ;

б) , , .

21. Знайти площину, що ділить пополам кут між площинами , і лежить у тому ж куті між ними, в якому початок координат.