3.5.9. Відстань від точки до прямої

1. Щоб знайти відстань d від точки М₀(х₀, у₀, z₀) до прямої

яка проходить через точку М₁(х₁, у₁, z₁), можна через точку М₀ провести площину, перпендикулярну до прямої, знайти точку М₂(х₂, у₂, z₂) перетину прямої та площини і обчислити відстань d між точками М₀, М₂ (рис. 3.53).

Рис. 3.53

З найдемо відстань від точки М₀(1, 2, – 1) до прямої

.

 Проведемо через точку М₀ площину, перпендикулярну до прямої

.

Складемо параметричне рівняння прямої

і знайдемо точку перетину прямої та площини:

Отже,

2. Другий спосіб визначення відстані від точки до прямої полягає в застосуванні апарату векторного виразу. Побудуємо паралелограм на векторах (рис. 3.54).

Рис. 3.54

Площу S цього паралелограма можна знайти за формулою



Звідси маємо:

(1)

О бчислимо відстань від точки М₀(1, 2, – 1) до прямої .

 За формулою (1) дістаємо:



3. Відстань від точки до прямої є найкоротшою серед відстаней між цією точкою і точками прямої. Скористаємося канонічним рівнянням прямої

.

Знайдемо квадрат відстані між точкою М(х, у, z) і точкою М₀(х₀, у₀, z₀):

.

Необхідна умова мінімуму d(t) = 0 набирає вигляду

.

Звідси маємо екстремальне значення t:

.

Знаючи t₀, знаходимо відстань .

З найдемо відстань від точки М₀(1, 2, – 1) до прямої .

 Складемо параметричне рівняння прямої

і обчислимо мінімум функції, якою подається шукана відстань:

Знайдемо похідну і мінімальну відстань:



3.5.10. Взаємне розміщення двох прямих

Дано дві прямі, що визначаються рівняннями

(1)

Прямі (1) паралельні, якщо виконується умова

.

Прямі (1) взаємно перпендикулярні, якщо

.

Кут між прямими визначається кутом  між їх напрямними векторами:

3.5.11. Відстань між двома прямими

Щоб знайти відстань d між прямими, розглянемо вектор

g = s₁  s₂,

перпендикулярний до обох прямих. Узявши точки М₁(х₁, у₁, z₁) і М₂(х₂, у₂, z₂), знайдемо відстань

Цю формулу можна подати через координати точок і проекцій напрямних векторів:

Остаточно маємо:

(2)

Дві прямі лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

(3)

О бчислимо відстань між прямими

.

 Знаходимо вектор

а також вектор . Далі маємо



Другий спосіб полягає у знаходженні мінімуму квадрата відстані між двома довільними точками на різних прямих:

. (4)

Диференціюючи за t і  та прирівнюючи похідні до нуля, дістаємо систему рівнянь для t, :

Із цієї системи рівнянь знаходимо t і  та обчислюємо значення d(t, ).

З найдемо відстань між прямими

 Функція (4) має вигляд

Необхідну умову екстремуму (4) подамо у вигляді системи рівнянь:

Звідси

Остаточно маємо: d = d(1, – 1) = 0. Отже, прямі перетинаються.

3.6. Поверхні другого порядку

3.6.1. Перетворення загального рівняння поверхні

Означення. Поверхнею другого порядку називається геометричне місце точок простору, декартові координати яких задовольняють рівняння

(1)

Розглянемо квадратичну форму

(2)

Знайдемо власні числа , ,  матриці

з характеристичного рівняння

.

Розглянемо ортонормовану систему власних векторів матриці А:

Заміною змінних

(3)

Квадратична форма (2) перетворюється на квадратичну форму

.

Заміною змінних (3), яка визначає поворот простору, рівняння (1) перетворюється до простішого вигляду:

(4)

Надалі розрізнятимемо три випадки.

І. Усі коефіцієнти , ,  відмінні від нуля.

ІІ. Два коефіцієнти ,  відмінні від нуля, а один з коефіцієнтів, наприклад , дорівнює нулю.

ІІІ. Два коефіцієнти дорівнюють нулю, наприклад  та , а   0.

У випадку І переходом до нової системи координат

дістанемо рівняння поверхні

(5)

У випадку ІІ перейдемо до нових координат:

.

Тоді рівняння (4) набере вигляду

(6)

У випадку ІІІ, скориставшись заміною змінних

,

перетворимо рівняння (4) так:

(7)

Далі розглянемо докладніше поверхні, задані рівняннями (5) – (7). Наведемо рівняння та графічні зображення всіх можливих поверхонь другого порядку.