3.1.3. Точки перетину кривих

Нехай на площині дано дві криві, рівняння яких . Оскільки координати точки перетину цих кривих задовольняють одночасно обидва рівняння, то зазначені координати можна знайти, розв’язавши систему рівнянь

(6)

З найдемо точки перетину двох кіл, які задано рівняннями

.

 Розв’язавши цю систему рівнянь, дістанемо два розв’язки:

При кола перетинаються у двох різних точках (рис. 3.4).



Рис. 3.4

3.1.4. Перетворення координат

Одна й та сама лінія подається різними рівняннями в різних системах координат. Часто доводиться, знаючи рівняння деякої лінії в одній системі координат («старій»), відшукувати рівняння тієї самої лінії в іншій системі («новій»).

Нехай на площині задані дві системи координат: ху — стара і х₁у₁ — нова. Знайдемо співвідношення між старими і новими координатами будь-якої точки в різних випадках.

Нехай осі нової системи координат паралельні осям старої системи і однаково з ними напрямлені (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Нехай початок О₁ нової системи координат має координати а, b у старій системі.

Згідно з рис. 3.5 маємо рівності

(7)

якими старі координати подаються через нові.

Візьмемо тепер систему координат, осі якої повернуто на кут  відносно осей системи (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Позначимо через r відстань від точки М до спільного початку координат О₁ розглядуваних систем і запишемо координати цієї точки:

Остаточно подамо координати через координати :

(8)

Оскільки система координат повернута на кут – відносно системи координат , то маємо співвідношення:

Розглянемо загальний випадок, коли нова система координат повернута на кут  відносно старої системи координат ху і початок О₁ нової системи координат має старі координати а, b (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Із системи рівнянь (7), (8) виражаємо старі координати х, у через нові х₂, у₂:

(9)

Нові координати точки М через старі подаються так:

Р івняння кривої у старій системі ху координат має вигляд

Знайдемо рівняння кривої в новій системі координат х₁у₁, яка повернута відносно старої на кут  = 45 і має з нею спільний початок.

 Згідно з (8) маємо:

Звідси випливає рівняння кривої в новій системі координат:



3.1.5. Декартові координати у просторі

Три взаємно перпендикулярні осі х, у, z, які проходять через деяку точку О, утворюють прямокутну (декартову) систему координат у просторі. Точка О називається початком координат, прямі х, у, z — осями координат (х — вісь абсцис, у — вісь ординат, z — вісь аплікат), а площини хОу, уОz, zOx — координатними площинами. За одиницю масштабу для всіх трьох осей беруть довільний відрізок.

Відклавши на осях х, у, z у додатному напрямі відрізки ОА, ОВ, ОС, що дорівнюють одиниці масштабу, дістанемо три вектори ОА, ОВ, ОС, які називаються основними векторами, або ортами, і позначаються відповідно i, j, k.

Додатні напрями на осях вибирають так, аби поворот на 90, який суміщує додатний промінь Ох із додатним променем Оу, здавався таким, що відбувається проти годинникової стрілки, коли спостерігати його з боку променя Оz. Така система координат називається правою. Іноді користуються й лівою системою координат. У ній зазначений поворот відбувається за годинниковою стрілкою.

Розміщення будь-якої точки М у просторі можна визначити трьома координатами так. Через М проводимо площини, які паралельні відповідно площинам уOz, zOx, xOy. У перетині з осями дістанемо точки М_х, М_у, М_z. Числа х, у, z, якими вимірюють відрізки ОМ_х, ОМ_у, ОМ_z у вибраному масштабі, називають прямокутними (декартовими) координатами точки М, і записують це так: М(х, у, z).