1.6. Відсотки

1.6.1. Поняття відсотка

Означення. Відсотком (процентом) від числа А називається одна сота частина цього числа. Слово «відсоток» походить від латинського pro centо, що означає «із сотні». Запис 1% означає 0,01. Позначення «%» походить від перекручення запису с_to (скорочення слова cento).

Наприклад: 5% = 0,05; 5% числа А становить 0,05А.

Для того щоб знайти відсотковий вираз заданого числа (цілого чи десяткового дробу), достатньо помножити це число на 100.

В ідсотковий вираз числа 2 (відносно одиниці) є 200%; числа 0,678 є 67,8%.

Для того щоб знайти число за його відсотковим виразом, достатньо поділити відсотковий вираз на 100.

2 4,5% = 0,245; 4,5% = 0,045.

1 .6.2. Три основні задачі на відсотки

Знайти певний відсоток заданого числа. Задане число ділиться на 100 і множиться на відповідне число відсотків.

П лановий добовий видобуток вугілля на шахті має становити 2860 т. Шахта виконала добовий план на 115%. Скільки тонн вугілля дала вона за добу?

 1)2860 · 115 = 328900; 2) 328900 : 100 = 3289. 

З найти число за відомим значенням певного його відсотка. Задане значення відсотка (відому частину числа) шуканого числа ділимо на число, що виражає цей відсоток, а результат множимо на 100.

М аса цукру становить 12,5% маси перероблених буряків. Скільки потрібно буряків для одержання 3000 т цукру?

 1) 3000 : 12,5 = 240;

2) 240 · 100 = 24000 

Знайти вираз одного числа у відсотках іншого (так зване відсоткове відношення двох чисел). Ділимо одне число на інше (знаходимо їх відношення) і результат множимо на 100.

П лановий видобуток нафти має становити 161 млн т. Фактичний видобуток досяг 166 млн т. На скільки відсотків був виконаний план видобутку нафти?

 1) 166 : 161 = 1,031;

2) 1,031  100 = 103,1%. 

1.6.3. Формула простого відсотка

Означення. Відношення даного відсотка певного числа (скажімо, грошової суми) до самого цього числа називається відсотковою ставкою і позначається р. Питомою відсотковою ставкою (нормою відсотка) називається відношення

Означення. Якщо певний відсоток деякої грошової суми додається до цієї суми, то говорять про накопичення грошей. Якщо відсоток не нараховується на перший відсоток, що додається до початкового числа, говорять про простий відсоток.

Формула приросту простого відсотка:

Сума, яку буде накопичено з урахуванням простих відсотків за п років:

, (13)

де K — початкове число;

і — питома відсоткова ставка (норма відсотка);

Kпі — прості відсотки за n років.

Я кщо K = 5000, а норма відсотка і становить 4, то накопичена протягом трьох років сума буде така:

K₃ = 5000(1 + 3 · 0,04) = 5000 · 1,12 = 5600.

Означення. Якщо відсоток початкового числа додається до цього числа, а далі відсоток нараховується на утворену суму, тобто на більше число, то говорять про складні відсотки.

1.6.4. Формула складного відсотка

Нехай на початкове число K нараховується складний відсоток за певною нормою протягом п років. Тоді дістанемо таку послідовність сум:

після 1-го року: K₁ = K + Ki = K(1 + i);

після 2-го року: K₂ = K₁ + K₁i = K₁(1 + i) = K(1 + i)²;

………………………………………………………………...…

після n-го року: K_n = K_n-1 + K_n-1(1 + i) = K_n-1(1 + i) = K(1 + i)ⁿ.

Остаточна (кінцева) сума K_n при нарахуванні складного відсотка протягом n років становить K(1 + i)ⁿ.