1.7.2. Властивості функцій Означення.

Функція у = f(х) називається	монотонно зростаючою;
	строго монотонно зростаючою;
	монотонно спадною;
	строго монотонно спадною;
якщо для кожної пари (x1 < x2)
виконується нерівність

Означення.

Функція у = f(х) називається	парною;
	непарною;
	загального виду (ні парна, ні непарна)
якщо для кожного х із Х	f(–x) = f(x);
	f(–x) = –f(x);
	не виконується жодна з попередніх властивостей.

1. Парність (рис. 1.28). Осьова симетрія

2. Непарність (рис. 1.29). Симетрія відносно точки (наприклад, точки О)

3. Функція загального виду: ні парна, ні непарна (рис. 1.30).

Рис. 1.30

Означення. Функція у = f(х) називається періодичною, якщо існує відмінне від нуля число Т, таке що для всіх значень х з області визначення Х виконується рівність:

Число Т називається періодом функції.

І люстрація періодичності (рис. 1.31).

Рис. 1.31

1.7.3. Функція, обернена до даної

Розглянемо взаємно однозначну функцію у = f(х). Це означає, що кожному у із множини Y також відповідає одне і тільки одне значення х із Х (рис. 1.32).

Рис. 1.32

Означення. Функцією, оберненою до функції у = f(x) (x  X, y  Y), називається відповідність між множинами Y та X, при якій кожному елементу з Y відповідає єдине значення з Х.

Позначення.

Якщо в рівності у замінити на х, а х виразити через у, дістанемо функцію Цю функцію можна також називати оберненою до утвореної. Функції та називаються взаємно оберненими.

Геометрична інтерпретація.

Графіки двох взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси квадрантів І і ІІІ (рис. 1.33):

Рис. 1.33

З найдемо функцію, обернену до y = –2x + 4 (рис. 1.34).

 Замінимо y на x, а х на у:

x = –2y + 4. Звідси маємо: –2y = x – 4, або y = –0,5x + 2. 

Рис. 1.34

1.7.4. Поняття складної (складеної) функції

Нехай маємо:

Рис. 1.35

Означення. Функція y = F(u), де u = g(x) є, у свою чергу, деякою функцією, називається складною (складеною) функцією, або суперпозицією (композицією) двох функцій.

Позначення.

1)  — це композиція двох функцій: y = F(u) = u³ i u = sin x;

2)  — це композиція двох функцій: y = F(u) = sin u i u = x³.

1.7.5. Основні елементарні функції

Означення. Лінійною називається функція виду y = ax + b, де a, b  R.

Властивості

Х	Y	Парність	Монотонність	Періодичність	Графік
(–, +)	(–, +)	Загального виду (ні парна, ні непарна), а  0; якщо а = 0 — парна	а > 0 — зростаюча; а < 0 — спадна; а = 0 — стала	Неперіодична при а  0, а = 0 — періодична з будь-яким періодом	Пряма лінія

Означення. Функція , де а — будь-яка дійсна стала, називається степеневою.

Властивості степеневої функції, які залежать від показника а (наведені у таблиці на с. 47).