1.2.2. Натуральні та цілі числа

Означення. Множину натуральних чисел утворюють числа, використовувані для лічби:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … .

У ІІІ ст. до н. е. Архімед довів, що цей ряд чисел нескінченний. Множину натуральних чисел позначають, як відомо, літерою N. У цій множині введені дві дії: додавання та множення. Сума і добуток двох натуральних чисел є число натуральне. Наприклад, 5 + 6 = 11, 2  5 = 10 і т. п. Різниця натуральних чисел не завжди є натуральним числом. Наприклад, 3 – 10 не є натуральним числом. Для того щоб можна було віднімати будь-які натуральні числа, вводяться число нуль та від’ємні числа.

Число нуль визначають як нейтральний елемент множини чисел. Це означає, що додавання цього числа до будь-яких інших чисел не змінює їх. Число нуль позначають 0. Отже,

а + 0 = а,

де а — довільне число.

Цілим від’ємним числом – n, де n — натуральне число, називають таке число, для якого виконується тотожність:

(– n) + n = 0.

Натуральні числа, нуль та цілі від’ємні числа утворюють множину цілих чисел, яку позначають літерою Z.

Цілі числа можна зображати на прямій, узявши на ній за початок відліку точку О, або так звану нульову точку. Далі по обидва боки від точки О, якій відповідає 0, відкладають рівні відрізки, позначаючи їх кінці цифрами (рис. 1.7). Числа праворуч від 0 — додатні (зокрема, натуральні), ліворуч — від’ємні.

Таку пряму називають числовою прямою. Із двох чисел більшим вважається те, яке лежить далі праворуч на числовій осі.

Рис. 1.7

Правила дій із цілими числами

1. Множення та ділення двох чисел із різними знаками:

1 ) – 3  5 = – 15;

2) 63 : (– 7) = – 9.

2. Множення та ділення двох чисел з однаковими знаками:

1 ) – 3  (– 10) = 3 10 = 30;

2) – 27 : (– 3) = 27 : 3 = 9.

3. Додавання двох чисел з однаковими знаками:

– 5 + (– 6) = – (5 + 6) = – 11.

4. Додавання двох чисел із різними знаками:

1 ) – 5 + 10 = 5;

2) – 17 + 3 = – 14.

5. Віднімання двох чисел з однаковими знаками:

1 ) – 13 – (– 8) = – (13 – 8) = – 5;

2) – 20 – (– 45) = 45 – 20 = 25.

6. Віднімання двох чисел із різними знаками:

1 ) – 13 – 6 = – (13 + 6) = – 19;

2) 40 – (– 65) = 40 + 65 = 105.

Сума, різниця, добуток двох цілих чисел є ціле число. Проте частка двох цілих чисел не завжди є ціле число. Наприклад, частка 5 : 3 або – 2 : 7 не є цілим числом. Щоб ділення цілих чисел виконувалося без обмежень, потрібно розширити поняття цілого числа, ввівши дробові числа.

1.2.3. Раціональні числа

Означення. Раціональним дробом називається вираз , де m — ціле, а n — натуральне число. Число m називається чисельником, а n — знаменником дробу. Якщо m < n — дріб називається правильним, а якщо m > n aбo m = n — неправильним.

Сума, добуток, різниця, частка двох дробів визначаються за правилом:

Означення. Раціональним числом називається множина всіх рівних між собою раціональних дробів, наприклад:

.

Це різні записи одного й того самого раціонального числа . Цілі та дробові числа утворюють множину раціональних чисел. Раціональні числа також зображають на числовій осі (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Сума, різниця, добуток та частка двох раціональних чисел є раціональним числом.