1.2. Множини чисел

1.2.1. Поняття числа

Число — одне з фундаментальних математичних понять. Ще задовго до нашої ери люди у своїй практичній діяльності змушені були вдаватися до лічби навколишніх предметів, тобто відшукувати кількісні характеристики певних їх сукупностей. Так виникли натуральні числа, застосовувані для підрахунку будь-яких окремих об’єктів. Спочатку число пов’язувалося з підраховуваними об’єктами. Абстрактне поняття числа формувалося з розвитком писемності та введенням символів для позначення числа.

Поява дробових чисел зумовлювалася потребою виконувати вимірювання, застосовуючи одиницю, яка ціле число разів не вкладається у вимірюваній величині. Числа, які можна подати у вигляді дробу (відношення двох цілих чисел), назвали раціональними. Коли виникли дроби, невідомо, але дослідження показують, що вже стародавні єгиптяни, хорезмійці та китайці вміли виконувати найпростіші арифметичні дії з дробами.

Подальшому розвитку поняття числа сприяли як практична діяльність, так і потреби розвитку самої математики. Перші теоретичні відомості, що становлять учення про число, наведено в «Началах» Евкліда та «Арифметиці» Діофанта. Обидві праці датовані ІІІ ст. до н. е.

Зауважимо, що в Київській Русі були поширені елементарні відомості про числа, зокрема дії з дробами. Збереглися рукописи математичного змісту, які свідчать, що знання з арифметики на Русі відповідали європейському рівню.

Виникнення від’ємних чисел пов’язане з розвитком алгебри як науки. Відомо, що індійські математики застосовували їх ще в VI—XI ст. У європейській науці від’ємні числа починають використовувати після праць Р. Декарта (XVII ст.), котрий дав їм геометричне тлумачення.

З «непорівнянними» — несумірними відрізками, відношення яких не можна виразити раціональним числом, стикалися вже математики Стародавньої Греції, але вони не ввели ірраціональних чисел. Уперше до поняття ірраціонального числа прийшли вчені Ближнього та Середнього Сходу. На початку ХІІІ ст. ірраціональні числа з’являються в західноєвропейських учених, найраніше в Леонарда Пізанського, але розглядаються вони лише з геометричного боку, як нерівноправні числа. Більшість математиків вважали, що ірраціональне число є корінь деякого степеня з цілого або дробового числа, який не може бути виражений точно.

Подальший розвиток числа припав на XVII ст., коли постала потреба дати чітке означення числа. Таке означення сформулював І. Ньютон у «Загальній арифметиці»: «Під числом ми розуміємо не стільки множину одиниць, скільки відношення деякої величини до іншої величини того самого роду, що й узята нами за одиницю». Це загальне означення дійсного числа — як раціонального, так і ірраціонального.

Згодом, у 70-х роках ХІХ ст. теорію дійсного числа розвинули далі вчені Р. Дедекінд, Г. Кантор, К. Вейєрштрасс та інші.

Для запису натуральних чисел використовують символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Їх називають цифрами. Перша, друга, третя і т. д. цифри числа, якщо лічити справа наліво, називаються цифрами одиниць, десятків, сотень і т. д., або одиницями відповідних розрядів — розрядними одиницями. Десять одиниць будь-якого розряду становлять одну одиницю наступного. Отже, ми користуємося десятковою позиційною системою числення.

Десяткова система числення виникла в стародавні часи. Позиційною вона є тому, що значення кожної цифри в цій системі залежить від її позиції в запису числа. Люди почали використовувати цю систему числення, оскільки звикли лічити десятками (за кількістю пальців на руках). Проте деякі народи створили й недесяткові системи числення. Десяткові цифри виникли в Індії на початку нашої ери. В Європі вони стали відомі завдяки працям хорезмського математика Мухаммада ібн Муси, відомого як ал-Хорезмі. Вона була написана арабською мовою, і тому цифри називали арабськими. Пізніше, коли стало відомо, що ал-Хорезмі в основу нумерації поклав практику індійських обчислювачів, цифри почали називати індійськими.

До непозиційних належить римська нумерація, утворена сімома знаками:

І	V	X	L	C	D	М
1	5	10	50	100	500	1000

Наступний етап у розвитку поняття числа — поява комплексних чисел у процесі розв’язування квадратних рівнянь (наприклад, виду х² + 1 = 0), які не мають дійсних коренів.