Матрицы и действия над ними
Прямоугольная
таблица чисел, содержащая m
строк и n
столбцов вида
или
называется матрицей
размера
.
Матрицы обозначают A, B, C, X… . Запись aij используют для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца).
Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n.
Элементы
квадратной матрицы с одинаковыми
индексами называются главной
диагональю,
т.е. элементами главной диагонали будут:
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.
Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице.
Верхней и нижней треугольными матрицами называются квадратные матрицы вида
и
соответственно.
Трапециевидной матрицей называется матрица вида
где числа a11, a12, …, akk отличны от нуля.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.
Две матрицы одинакового размера
и
(13.2)
называются
равными,
если
для всех
,т.е.
в которых равны элементы, стоящие на
одинаковых местах.
Обозначается: А = В.
Суммой
матриц
и
одинакового порядка называется матрица
,
элементы которой определяются по
формулам:
т.e. элементы матрицы С равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Обозначается: С = А + В.
Произведением
матрицы А
на действительное число
называется матрица
,
элементы которой вычисляются по формуле:
т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число .
Обозначается:
.
Разностью матриц и одинакового порядка называется матрица A – B = A + (–1)B.
Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.
Произведением
матрицы Al×m
на матрицу Bm×n
называется матрица
элементы которой
,т.е.
для получения элемента сij матрицы С умножают последовательно каждый элемент i-й строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы B и находят сумму этих произведений.
Из
существования AB
не следует существование BA.
Даже если оба эти произведения определены,
они не всегда равны. Матрицы, для которых
называются коммутативными
или перестановочными.
Пусть
A
– квадратная матрица. Тогда k-я
степень (
)
матрицы A
определяется равенством
По определению принимают
при условии
Матрица AT, полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A.
Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:
перестановку строк;
умножение строки на ненулевое число;
прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.
Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.
Пример 1. Найти 2A – 3B, если
Решение:
Прежде всего следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Имеем:
Пример2.
Найти
произведение двух матриц
и
Решение:
