Глава VII. Функции нескольких переменных
§1. Понятие функции нескольких переменных
Определение: Переменная z называется функцией независимых переменных x, y, если каждой паре (x;y) из множества D по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из множества Е.
Обозначается:
или
Пример:
-
площадь прямоугольника со сторонами x
и y.
Множество D – совокупность пар (x;y), при которых определяется , называется областью определения функции z. D изображается в виде части плоскости или всей плоскости.
Множество Е – множество значений функции z.
Переменные x и y называются аргументами.
При
получим частное значение функции
.
О
бласть
на плоскости Oxy,
состоящая из одних внутренних точек,
называется открытой или
незамкнутой. (Точки, входящие в
область вместе со своей окрестностью,
называются внутренними) Открытая область
вместе с ее границей называется замкнутой.
Область называется ограниченной,
если существует круг, полностью ее
покрывающий.
Примеры:
1)
;
;
Область определения – вся плоскость Oxy
(незамкнутая (, открытая), неограниченная)
2)
;
Область определения – круг с центром в т. O(0;0)
и радиусом
.
(замкнутая, граница – окружность
,
ограниченная)
3
)
;
О
0
в т. O(0;0) и радиусом .
(открытая, ограниченная)
Определение: Переменная u
называется функцией независимых
переменных
,
если каждой совокупности значений
по некоторому правилу или закону
поставлено в соответствие определенное
значение переменной u.
Замечание 1. Арифметическое пространство , метрическое пространство
Определение: Множество всех
упорядоченных наборов
действительных чисел называется n-мерным
арифметическим пространством
.
Каждый упорядоченный набор действительных
чисел обозначают
и называют точкой пространства
,
а
–
i-ой координатой этой
точки.
Расстояние между двумя точками
и
определяют по формуле
.
Множество с введенным в нем расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством .
Метрическое пространство
можно рассматривать как векторное
пространство, если для его элементов
(векторов)
и
определить понятие равенства векторов,
суммы векторов и умножения векторов на
число (аналогично для
).
- норма (длина) вектора
З амечание 2. Геометрическое изображение функции двух независимых переменных
Рассмотрим функцию двух переменных (1)
Рассмотрим пространство Oxyz.
На плоскости Oxy изобразим область D – область
определения функции z.
Каждой точке
соответствует точка
,
где
.
(Всей области D соответствует некоторая поверхность).
Геометрическое место точек P, координаты которых
удовлетворяют (1), называется графиком функции двух переменных.
Графиком функции в пространстве Oxyz является поверхность. Уравнение (1) называют уравнением поверхности.
– уравнение поверхности в явном виде
– уравнение поверхности в неявном
виде
Поверхности, имеющие уравнение второй степени, называются поверхностями второго порядка.