Тематический план и содержание дисциплины ( с распределением общего бюджета времени в часах)

КУРС

СЕМЕСТР

Раздел

дисциплины,

содержание

ВСЕГО

АУДИТОРНЫЕ

Самостоятельная

работа студентов

Лекции

Аудиторный

практикум

Лабораторный

практикум

1

2

Раздел I. Элементы теории множеств

24

6

8

10

Тема 1. Множества и операции над ними

Множество. Равенство множеств. Подмножество. Пустое множество, универсум. Диаграммы Эйлера-Венна. Булеан. Способы задания множеств. Основные операции над множествами. Алгебра множеств, её основные формулы. Понятие булевой алгебры. Алгебра множеств как модель булевой алгебры. Конституенты.

8

2

2

4

Тема 2. Отношения и функции

Декартовы произведения множеств. Бинарные отношения. Отображения множеств. Образы, прообразы, обратные отображения, виды отображений. Функции, их свойства. Бинарные отношения специального вида. Отношения порядка.

8

2

3

3

Тема 3. Мощность множеств. Кардинальные числа

Эквивалентность и мощность множеств. Кардинальные числа, шкала кардинальных чисел. Конечные, бесконечные, счётные, бессчётные, континуальные множества, их свойства. Арифметика кардинальных чисел.

8

2

3

3

Раздел II. Комбинаторика

30

8

8

14

Тема 4. Основные формулы комбинаторики

Выборки. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения, сочетания с повторениями и без повторений. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.

Алгебраический подход изучения комбинаторных объектов и чисел. Метод рекуррентных соотношений и его применение при решении перечислительных задач. Решение линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами. Числа Фибоначчи.

8

2

2

4

Тема 5. Производящие функции

Производящие функции, экспоненциальные производящие функции, действия над ними. Производящая функция для (n,r) –выборок с ограниченным и неограниченным числом повторений. Получение комбинаторных чисел с помощью производящих функций (числа Фибоначчи). Приложения производящих функций к теории вероятностей.

14

4

4

6

Тема 6. Принцип включений и исключений

Теоретико-множественный подход изучения комбинаторных объектов. Метод включений и исключений. Применение принципа включений и исключений к решению некоторых комбинаторных задач. Подсчет числа элементов объединения множеств. Учет весов элементов в формуле включений и исключений. Задача о беспорядках. Функции Эйлера и Мёбиуса, их свойства. Подсчет количества чисел, меньших заданного и не делящихся на одно из данных чисел.

8

2

2

4

Раздел III. Теория графов

46

11

9

26

Тема 7. Основные понятия теории графов

Граф (орграф), его элементы. Виды графов (орграфов). Отношения между элементами графа (орграфа). Способы задания. Степень вершины. Изоморфизм. Связность. Упорядочивание дуг и вершин орграфа.

4

2

2

Тема 8. Маршруты, пути, циклы

Маршруты в графах, их виды. Цепь, цикл. Пути в орграфах, их виды. Определение экстремальных путей на графах. Выявление маршрутов с заданным количеством ребер. Метод Шимбелла. Алгоритмы Дейкстры и Беллмана - Мура построения кратчайшего пути. Задача о нахождении максимального пути на ациклических графах. Контур. Теоремы о маршрутах и циклах. Обходы графов. Фундаментальные циклы.

13

3

4

6

Тема 9. Деревья

Дерево (ордерево). Корневые, бинарные деревья. Теоремы о деревьях. Остовный граф. Задача об остове минимального веса. Алгоритм Прима расчета кратчайшего остова.

9

2

1

6

Тема 10. Планарные и хроматические графы

Планарные графы. Укладка графа на плоскости, один из алгоритмов укладки графов. Хроматические графы. Раскраски графов. Теорема о пяти красках, история её доказательства.

8

2

2

4

Тема 11. Сети, потоки в сетях

Определения двухполюсной направленной сети, потока. Задача о максимальном потоке. Разрезы в сетях, пропускная способность разреза. Теорема Форда-Фалкерсона. Построение потока минимальной стоимости. Способы модификации сети при расчете потока минимальной стоимости.

12

2

2

8

Раздел IV. Элементы сетевого планирования

12

3

3

6

Тема 12. Основные параметры сетевых графов. Критические пути, работы, резервы. Резервы для событий и работ сетевого графа. Линейные графики. Планирование потребления ресурса. Составление расписаний при ограничениях на ресурсы.

12

3

3

6

Раздел V. Элементы теории кодирования

24

6

6

12

Тема 13. Алфавитное кодирование

Алфавит, слово, код. Схема алфавитного кодирования. Префиксные коды. Критерий однозначности кодирования. Неравенство Макмиллана. Избыточность кода. Коды с минимальной избыточностью. Теорема редукции. Код Хаффмена.

8

2

2

4

Тема 14. Самокорректирующиеся коды

Шары, сферы и циклы в n-мерном кубе. Кодовое расстояние Хемминга. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки. Код Хемминга, исправляющий одну ошибку.

8

2

2

4

Тема 15. Линейные коды

Линейная комбинация двоичных векторов, линейная зависимость и независимость. Линейные (n, k)- коды. Порождающая и проверочная матрицы кода. Двойственный код.

8

2

2

4

Итого за 2 семестр:

136

34

34

68