1.3 Пример расчета плоской рамы методом сил

Построить эпюры внутренних усилий для заданной статически неопределимой плоской рамы (рис. 1.5, а). Стойки и ригель рамы имеют одинаковую жесткость EI. При расчетах принять: l = 6 м, h = 4 м, М = 8 кНм и q = 4 кН/м.

Решение. 1. Проводим кинематический анализ заданной стержневой системы. Рама представляет собой один диск, соединенный с землей пятью связями: две в левой шарнирной опоре и три в правой жесткой (в заделке). Независимых уравнений равновесия для плоского диска можно записать только три. Следовательно, рама дважды статически неопределима.

Воспользуемся для ее расчета методом сил.

2. В соответствии с методом выбираем статически определимую основную систему путем отбрасывания лишних связей (рис. 1.5, б). На рис. 1.5, в показана эквивалентная система, полученная путем нагружения основной системы заданной нагрузкой и неизвестными усилиями Х₁ и Х₂, которые представляют собой реакции в отброшенных связях.

3. Составляем канонические уравнения метода сил по числу лишних неизвестных

4. При вычислении коэффициентов канонических уравнений, представляющих собой единичные перемещения, и свободных членов используем метод Мора в форме перемножения эпюр. Для этого построим единичные (рис. 1.6, и рис. 1.7) и грузовую (рис. 1.8, б) эпюры моментов.

Для построения первой единичной эпюры создаем в основной системе первое единичное состояние, когда на раму действует усилие Х₁ = 1. Далее по участкам вычисляем моменты и строим эпюру, откладывая ординаты моментов со стороны растянутых волокон. Аналогичным образом поступаем при построении единичной эпюры .

Грузовая эпюра, как правило, имеет более сложный вид. Рассмотрим подробнее построение грузовой эпюры (рис. 1.8).

Создаем грузовое состояние (рис. 1.8, а) и разбиваем раму на участки. При построении эпюр внутренних усилий в рамах используется следящая система координат, когда ось х, идущая вдоль оси стержня рамы, повторяет ее направление.

1-й участок: 0 < х₁ < 0. Участок не нагружен, поэтому М₁ = 0

2-й участок: 0 < х₂ < 6. М₂ = m, (правило знаков: в ригеле М > 0, если растягиваются нижние волокна, а в стойке М > 0, если растянуты правые волокна)

3-й участок: 0 < x₃ < 4м. М₃=  m + qx₃²/2; M_х=0 =  8 кНм, M_x=2 = 0, М_х=4 =  8 + 44²/2 = 24 кНм

Выбираем масштаб по наибольшей ординате (24 кНм) и строим грузовую эпюру М_р в соответствии с принятым правилом знаков - на растянутых волокнах (рис. 1.8, б).

5. Вычисляем коэффициенты и свободные члены записанных канонических уравнений. Перемножение эпюр на каждом участке будем производить по правилу Верещагина с использованием для сложных эпюр формулы Симпсона.

Вычисляем единичные коэффициенты _ij.

₁₁ =  = [(1/2) 66(2/3)6+646]/EI = 216EI;

₂₂ =  = [(1/2) 44(2/3)4+464+(1/2)44(2/3)4]/EI = 416/3EI;

₁₂ = ₂₁ =  = [(1/2)664+642]/EI = 120/EI.

Вычисляем свободные члены канонических уравнений, перемножая поочередно грузовую эпюру на единичные.

_1p = M₀ = [863+(4/6)(68+460-624)]/EI = 80/EI;

_2p = M₀ = [864+(4/6)(84+420-240)]/EI = 640/3EI.

6. Проверка (универсальная, правых частей) коэффициентов канонических уравнений осуществляется путем контроля выполнения равенства

_ij = _ss, (а)

_ip = _sp. (б)

Здесь: _ij – сумма всех найденных единичных коэффициентов, _ss, - результат перемножения суммарной единичной эпюры самой на себя,_ip – сумма грузовых коэффициентов (свободных членов), _sp – результат перемножения грузовой эпюры на суммарную единичную эпюру.

Суммарную единичную эпюру М_s строим путем сложения единичных эпюр и (рис. 1.9). Вычисляем члены выражения (а).

_ij =

_ss = М_s  М_s =

Условие (а) удовлетворяется. Вычисляем члены выражения (б).

Условие (б) удовлетворяется. Проверки сошлись, коэффициенты вычислены верно. Канонические уравнения после подстановки коэффициентов и свободных членов имеют вид:

216Х₁ + 120Х_2 + 80 = 0

120Х₁ + (416/3)Х_2 + 640/3 = 0

7. Решая полученную систему уравнений, получим следующие значения неизвестных:

Х₁ = 0,934 кН; Х₂ = 2,348 кН.

8. Строим результирующую эпюру моментов М, используя принцип суперпозиции:

М = М_Р + Х₁ + Х₂.

Для этого умножим единичные эпюры на соответствующие неизвестные Х₁ и Х₂, получив в результате эпюры М₁ и М₂ (рис. 1.10, а, б), и сложим их по участкам с грузовой эпюрой М_Р.

В итоге получаем результирующую эпюру М (рис. 1.10, в). Убедимся в правильности ее построения, проверив равновесие узлов рамы. Для этого вырежем в эпюре М левый и правый верхние узлы и покажем действующие в элементах, сходящихся в узле, изгибающие моменты с учетом растянутых волокон (рис. 1.10, г). Мысленно записав уравнения моментов относительно центра каждого узла m=0, убеждаемся в равновесии узлов. Следовательно, сложение эпюр выполнено верно.

9. Для проверки самого решения проводим кинематическую проверку полученной эпюры моментов, перемножая результирующую эпюру на каждую единичную эпюру. Этим самым вычисляем перемещения по направлениям Х₁ и Х₂, которые должны быть равны нулю. Для примера покажем проверку по первому направлению.

М = (6/6)(01,39+431,41+64,21) +

+ (4/6)(64,21+460,91618,42) = 42,18  42,28 = 0,1

Погрешность   (0,1100%)/42,18 = 0,24%, что значительно меньше допустимой погрешности для ручного счета, равной 3%.

10. Для построения результирующей эпюры Q проведем графическое дифференцирование эпюры М по формуле:

(2)

При использовании приведенного соотношения (2) необходимо расположить эпюру М на рассматриваемом участке длиной l горизонтально. При этом, в случае действия на участке равномерно распределенной нагрузки q, она должна действовать вниз. М_пр и М_л  значения моментов на участке справа и слева с учетом правила знаков для изгибающих моментов (момент, отложенный ниже оси эпюры, положителен, выше — отрицателен).

Так, для ригеля: Q_р = [4,21  (1,36)]/6 = 0,93 кН

Для правой стойки: Q_ст = ±(44)/2 + (18,42  4,21)/4

Q_ст^л = 8  5,66 = 2.34 кН

Q_ст^пр = 8 5,66 = 13,66 кН

Левая стойка:

Q_ст = (0  9,39)/4 = 2,35 кН

По полученным значениям Q выбираем масштаб и строим эпюру Q (рис. 1.11, а).

11. Результирующую эпюру N строим по эпюре Q, рассматривая равновесие узлов рамы под действием поперечных и продольных сил, действующих в стержнях, сходящихся в этих узлах. Вырежем левый верхний узел и покажем действующие в узле известные Q и неизвестные N (рис. 1.11,б). Составим сумму проекций на ось х:

x = 0. Q_.ст^л + N_р = 0; N_p = 2,35 кН

у = 0. Q_р  N_ст^л = 0; N_ст^л =  0,93 кН

Знак «» у продольной силы в ригеле N_p означает, что ригель сжат.

Левая стойка тоже сжата. Вырезаем правый верхний узел (рис. 1.11,г). Поскольку продольное усилие в ригеле известно, достаточно для определения продольной силы в правой стойке составить сумму проекций на ось у.

у = 0. Q_р N_ст^пр =0; N_ст^пр = 0,93 кН.

Правая стойка растянута. Строим эпюру N (рис. 1.11, в).

12. Проводим статическую поверку эпюр М, Q и N, которая заключается в проверке выполнения условий равновесия либо всей рамы под действием внешних активных и реактивных усилий, либо части рамы под действием внешних и внутренних усилий.

Проверим равновесие всей рамы. (рис. 1.12, а). Запишем для рамы уравнения проекций и уравнение моментов относительно правой опоры — точки В.

х = 0. qh + Q_ст^л + Q_ст^пр = 16 + 2,34 + 13,66 = 16 – 16 = 0.

y = 0. N_ст^л  N_ст^пр = 0,93 – 0,93 = 0.

m_В = 0. N_ст^л l  m  M_ст + qh²/2 = 32 + 32 = 0;

Все проверки выполняются. Следовательно, задача решена верно.