1.4.3. Обработка косвенных измерений

Косвенные измерения в практике электрических измерений встречаются довольно часто. Вопрос оценки погрешности резуль­тата измерения – один из важнейших в таких экспериментах. Имея подробную исходную информацию о применяемых средствах из­мерения, измеряемых величинах и условиях проведения экспери­мента, можно достаточно строго решить задачу оценки суммарной погрешности результата измерения. Правда, требуется четко ого­варивать все допущения. Возможны два подхода к решению этой задачи: детерминированный и вероятностный, рассмотрим пер­вый подход.

Детерминированный подход (иногда называемый методом наи­худшего случая) более характерен для обычных технических изме­рений и экспресс-измерений с их обычно упрощенными моделя­ми процессов и подходами. Перед рассмотрением этого подхода оговорим необходимые допущения:

а) инструменты исправны, имеют реальные погрешности, соот­ветствующие своим классам точности. Причем их погрешности – только систематические, т.е. не меняющиеся в течение данного эксперимента. Случайных погрешностей нет;

б) исходные измеряемые величины характеризуются неизмен­ными (в течение данного эксперимента) значениями основных параметров;

в) условия работы СИ – нормальные или рабочие;

г) функциональная зависимость искомой величины Y от исходных величин Х_i, известна достаточно точно;

д) оператор имеет достаточную квалификацию.

Если интересующая нас величина Y связана с исходными вели­чинами Х_i, известной функциональной зависимостью F:

Y =F(X₁, X₂,…, X_n )

и предельные значения абсолютных погрешностей Δ_i – определения каждой исходной величины Х_i известны, то предельное значение абсолютной погрешности Δ_Y результата измерения искомой вели­чины Y в общем случае можно определить по так называемой фор­муле накопления частных погрешностей:

Δ_Y =

где dF/dX_i – частные производные функционала F по каждой исходной величине в точках, соответствующих найденным значениям величин X_i; Δ_i – предельные значения абсолютных погрешностей определения исходных величин Х_i.

Рассмотрим два частных, но довольно распространенных, слу­чая функциональной зависимости F.

Первый частный случай – функционал F имеет вид суммы. Если функциональная зависимость имеет вид

Y= ,

где a_i – коэффициенты функциональной зависимости, то пре­дельное значение абсолютной погрешности Δ_Y определяется по формуле

Δ_Y = .

Относительная погрешность δ_Y, %, при этом может быть найдена обычным образом:

δ_Y = Δ_Y /Y 100 .

Например, если Y = 5Х₁ + 2Х₂ + Х_ъ, то Δ_Y = 5Δ₁ + 2Δ₂ + Δ₃.

Второй частный случай – функционал F имеет вид произведе­ния. Если функциональная зависимость имеет вид

Y = ,

где П – знак произведения п сомножителей; α_i – коэффициенты – показатели степени исходных величин X_i, то предельное значение относительной погрешности δ_Y определяется по формуле

= ,

где δ_i – предельные значения относительных погрешностей опре­деления исходных величин X_i.

Предельное значение абсолютной погрешности Δ_Y затем находится обычным образом:

Δ_Y = δ_YY/100.

Например, если функционал Y имеет вид

Y = X₁² X₂³/X₃⁵,

то значение относительной погрешности

δ_Y = 2δ₁ + 3δ₂ + 5δ₃.

И хотя формально третье слагаемое должно входить в сумму со знаком минус, но, поскольку предельные значения отдельных погрешностей практически всегда симметричны (±), то в худшем случае (самое неблагоприятное сочетание значений и знаков всех составляющих) предел общей погрешности есть сумма модулей отдельных составляющих.