43.3 Вычисление площади земельных участков по координатам их граничных точек (на карте, на местности).
Площадь полигона 12345, которую обозначим Р, можно представить в как разность площадей фигур А1234В и А154В, при этом площадь каждой из этих фигур может быть представлена как сумма площадей трапеций с основаниями х и высотами у2-у1, у3-у2, т.е.:
Р = РА1234В – РА154В = 1/2 * (х1+х2) (у2-у1) + 1/2 * (х2+х3) (у3-у2) + 1/2 * (х3+х4) (у4-у3) – 1/2 * (х4+х3) (у4-у5) – 1/2 * (х5+х1) (у5-у1).
2Р = (х1+х2) (у2-у1) + (х2+х3) (у3-у2) + (х3+х4) (у4-у3) + (х4+х3) (у4-у5) + (х5+х1) (у5-у1).
2Р = Σn1 (хк + хк+1) (ук+1 – ук).
Можно переписать данное выражение в следующем виде:
2Р = Σn1 ук (хк-1 - хк+1), то есть удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс предыдущей и последующей точек.
Аналогично можем записать:
2Р = Σn1 хк (ук+1 - ук-1), то есть удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей точек.
Билет№44
44.1 Объяснить чем отличается дирекционный угол от истинного азимута (и в чем сходство между ними).
Дирекционный угол ά – угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления осевого меридиана, либо линии, ей параллельной, до данного направления. Дирекционный угол изменяется от 0 до 360º.
Истинный азимут А – угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления истинного (географического) меридиана до данного направления. Истинный азимут изменяется от 0 до 360º.
Отличия дирекционного угла от истинного азимута заключаются в следующем:
- дирекционный угол линии в любой ее точке сохраняет свою величину, а истинный азимут линии в каждой её точке имеет различное значение. Это связано с тем, что меридианы в различных точках, расположенных на одной линии, не параллельны между собой вследствие сферичности Земли.
- дирекционный угол какого-либо направления не может быть измерен непосредственно на местности, а истинный азимут любого направления может быть измерен непосредственно на местности;
- дирекционный угол отсчитывают не от направления меридиана, проходящего через данную точку (начало линии), а от линии, параллельной осевому меридиану (оси абсцисс).
Сходство дирекционного угла и истинного азимута заключается в одинаковом пределе изменения их значений - от 0 до 360º.
Между дирекционным углом и истинным азимутом любого заданного направления существует связь (зависимость), выражаемая следующей формулой: ά = А – γ, то есть дирекционный угол направления равен истинному азимуту минус сближение меридианов (со своим знаком).
44.2 Привести формулы тригонометрического нивелирования.
При мензульной съемке рельефа местности и построении съемочного обоснования превышения между точками определяют с одной станции на расстоянии в несколько сотен метров и даже несколько километров, применяя тригонометрическое нивелирование. Для определения превышения h между точками А и В наклонной визирной осью на одной точке А устанавливают мензульный комплект или теодолит, а на другой В – знак. Пусть горизонтальное проложение между точками А и В равно s. Для измерения угла наклона ν визируют на верх знака v, на станции измеряют высоту прибора i, представляющую отрезок отвесной линии от точки А до горизонтальной оси прибора, определяют высоту знака v. Если предположить, что уровенная поверхность представляет плоскость, а визирный луч – прямую линию, т.е. кривизна Земли и рефракция (преломление) светового луча в атмосфере не учитываются, то можно получить формулу: h + v = s * tgν + i, откуда: h = s * tgν + i - v.
В действительности, визирный луч идет по рефракционной кривой, и угол наклона ν измеряют между касательными к уровенной поверхности и рефракционной кривой. Треугольник, образованный этими касательными и отвесной линией в точке В, близок к прямоугольному, поэтому катет, лежащий против угла ν, равен s*tg ν, а следовательно: h + v + r = i + k + s * tgν, откуда: h = s * tgν + i – v + k - r (где: r - поправка за рефракцию; k - поправка за кривизну Земли). Обозначив k - r = f, где f – поправка за кривизну Земли и рефракцию, получим: h = s * tgν + i – v + f.
Определим k, r, f. Поправку за кривизну Земли k легко и точно можно определить из прямоугольного треугольника. (R + k)2 = R2 + s2, где: R – величина, близкая к радиусу Земли. Из полученного равенства следует, что k (2R + k) = s2, откуда: k = s2 / (2R + k). В знаменателе правой части полученной формулы k во много раз меньше удвоенного радиуса Земли, поэтому, отбросив её, можно написать: k = s2 / 2R. Значительно сложнее определить r – поправку за рефракцию. Наиболее уверенно радиус рефракционной кривой, а следовательно, и поправку за рефракцию определяют при высоте визирного луча над земной поверхностью от 2 м и более. Превышения при тригонометрическом нивелировании вычисляют с округлением до 0,01 м, поэтому поправку f вычисляют лишь для расстояний, превышающих 300 м, так как при s = 300 м f = 0,006 м ≈ 0,01 м.