Определение постоянной больцмана

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение давления газа на стенки сосуда с молекулярно-кинетической точки зрения, изучение закона Дальтона, определение постоянной Больцмана.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: сосуд стеклянный, манометр водяной, медицинский шприц для инъекций (универсальный), этиловый эфир.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Картина движений молекул в газе будет не полной, если не рассмотреть вопросы о столкновении их с поверхностью любого тела, находящегося в газе, в частности со стенками сосуда, содержащего газ, и друг с другом.

Метод описания свойств сложных объектов, например термодинамических систем, через свойства элементарных их составляющих, был впервые использован в древней Греции. Этот метод применяется в механике, где в качестве элементарного объекта используется материальная точка. При описании различных веществ в качестве их элементарных составляющих древними греками было введено понятие атома. Это название происходит от греческого слова, означающего не делимый. В физике нашли широкое применение такие элементарные объекты как точечные заряды, ядра, элементарные частицы, кварки и т.д.

В молекулярно-кинетической теории элементарным объектом является молекула - мельчайшая частица вещества, определяющая его физико-химические свойства.

Основное положение молекулярно-кинетической теории заключается в том, что вещество состоит из мельчайших частиц - молекул. Все молекулы находятся в постоянном беспорядочном тепловом движении, при котором они обмениваются импульсами и энергией.

Молекулярно-кинетическая теория развивалась параллельно с термодинамикой, и зачастую эти теории разрабатывались одними и теми же исследователями. При этом молекулярно-кинетическая теория позволяла получить обоснование термодинамических законов и более глубоко объяснить их физическую сущность.

Проведем рассмотрение свойств идеального газа с использованием молекулярно-кинетической теории. С точки зрения этой теории идеальным газом называется газ, молекулы которого являются материальными точками, то есть расстояния между молекулами намного превосходят их размеры, а единственный вид их взаимодействий между собой - упругие механические столкновения. При этом считается, что молекулы идеального газа гораздо чаще сталкиваются между собой, чем со стенками сосуда.

Совершая беспорядочные движения, молекулы время от времени приближаются к стенкам сосуда или к поверхности других тел на достаточно малые расстояния. Точно так же молекулы могут подойти друг к другу достаточно близко. В этом случае между молекулами газа или между молекулой газа и молекулами вещества стенки возникают силы взаимодействия, которые очень быстро убывают с расстоянием. Под действием этих сил молекулы газа изменяют направление своего движения. Этот процесс (изменения направления) называется столкновением.

Столкновения молекул между собой играют важную роль в поведении газа, но не менее важно учесть их столкновения со стенками сосуда или любой другой поверхностью, соприкасающейся с газом. Именно воздействием молекул газа и стенок определяется сила, испытываемая стенками со стороны газа, и, конечно равная ей противоположно направленная сила, испытываемая газом со стороны стенок. Сила, испытываемая стенкой со стороны газа, тем больше, чем больше площадь ее поверхности. Чтобы не пользоваться величиной, зависящей от такого случайного фактора, как размеры стенки, принято характеризовать действие газа на стенку не силой, а давлением Р, т.е. силой F, отнесенной к единице площади S поверхности стенки, нормальной к этой силе:

.

Далее будем предполагать, что рассматриваемый газ находится в состоянии термодинамического равновесия со стенками сосуда, и взаимодействие его молекул со стенками описывается моделью упругих соударений с зеркальным отражением.

     Покажем, что молекулярно-кинетическая теория позволяет получить для идеального газа закон Бойля-Мариотта и сделать вывод о связи кинетической энергии его молекул с температурой газа. Рассмотрим сосуд в виде куба с ребром длиной L, а оси координат OX, OY и OZ направим параллельно трем ребрам куба (рис. 1).

Рис.1. Схема упругих соударений молекул идеального газа: 1 - со стенкой, расположенной в плоскости YOZ, 2 – со стенкой, расположенной в плоскости XOZ , 3 – двух одинаковых молекул между собой

Если молекула массой m_i, имеющая составляющую скорости v_xi (рис. 1) индекс i при скоростях опущен) вдоль оси OX, сталкивается со стенкой сосуда, расположенной в плоскости YOZ, то этой стенке будем передан импульс:

(1)

 Считая, что молекула, летящая вдоль оси OX, не испытывает соударений с другими молекулами газа, оценим промежуток времени τ_xi между очередными соударениями этой молекулы со стенкой сосуда, после её переотражения от противоположной его стенки:

(2)

Полученное выражение применимо и для более общего случая, так как при упругом соударении рассматриваемой молекулы с другими стенками сосуда, например со стенкой, расположенной в плоскости XOZ, составляющая её скорости вдоль оси OX не изменяется, а при упругом соударении двух одинаковых молекул происходит обмен их скоростями (рис.1).

Тогда силу F_xi и давление P_xi, действующие со стороны рассматриваемой молекулы на стенку сосуда, расположенную в плоскости YOZ, можно рассчитать по следующим формулам:

где: V = L³ – объем, занимаемый газом внутри сосуда.

Рассуждая аналогичным образом, величины давлений, действующих со стороны молекулы на стенки, лежащие в плоскостях XOZ и XOY, можно определить с помощью формул:

Предполагая газ изотропным, можно считать, что значения величин давлений на различные стенки сосуда в среднем одинаковы:

Тогда имеем:

где: – значение квадрата скорости i-ой молекулы.

 Это выражение позволяет получить зависимость между давлением и кинетической энергией E_Ki для i-ой молекулы:

Для нахождения уравнения для полного давления P необходимо просуммировать полученное выражение по всем молекулам газа:

где: N – полное число молекул, E_∑ – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Если суммарная кинетическая энергия идеального газа постоянна: E_∑ = const, то на основании выражения () можно записать уравнение

полностью совпадающие с выражением, описывающим закон Бойля–Мариотта.

Сравнение выражения () с уравнением Клапейрона–Менделеева позволяет сделать вывод, что для идеального газа кинетическая энергия поступательного движения его молекул пропорциональна абсолютной температуре этого газа:

Для одного моля газа имеем:

Полученные выражения позволяют утверждать, что абсолютная температура идеального газа есть мера кинетической энергии поступательного движения его молекул. Поскольку у идеального газа отсутствует потенциальная энергия взаимодействия молекул между собой, то их суммарную кинетическую энергию можно считать равной внутренней энергии идеального газа. Поэтому, температура также является мерой внутренней энергии идеального газа в состоянии термодинамического равновесия.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы газа E_K=<E_Ki> можно найти как отношение суммарной кинетической энергии молекул E_моля, содержащихся в одном моле газа, к постоянной Авогадро N_A, численно равной количеству этих молекул:

Если ввести новую постоянную, которая в честь австрийского физика-теоретика Людвига Больцмана (1844 – 1906) получила название постоянной Больцмана, то получаем следующее выражение:

Постоянная Больцмана, одна из фундаментальных физических констант; равна отношению газовой постоянной R к постоянной Авогадро N_А , обозначается k =R/N_A = 1,380662(44)· 10^-23 Дж/К.

С помощью формулы () уравнение Клапейрона-Менделеева может быть преобразовано к виду:

где суммарное число молекул газа равно: N = N_A Деление этого выражения на объем газа V позволяет получить уравнение для давления, часто называемое основным уравнением молекулярно-кинетической теории:

или с использованием формулы

где n = N/V – концентрация молекул газа, Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана. Числовое значение k установлено экспериментально. Ввиду важности этой постоянной она была определена многими методами.

Законы Дальтон:

1. Давление смеси химически не взаимодействующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений. Отдельные компоненты смеси газов можно считать независимыми. Поэтому каждая компонента создает давление, а полное давление равно сумме давлений компонентов:

,

где p_i – парциальное давление. Закон, выражаемый данным равенством,

называется законом Дальтона. При достаточно больших концентрациях

(давлениях) газов следует ожидать отклонения от закона Дальтона, поскольку должно проявиться фактически имеющееся взаимодействие между различными компонентами смеси, благодаря чему они не будут вести себя как независимыми. Данный закон приближенно применим к реальным газам при значениях температур и давлений, далеких от критических. Обозначая p_i, m_i, M_i соответственно парциальные давления, массы, молярные массы компонентов смеси, уравнение Клапейрона– Менделеева с помощью закона Дальтона представим в виде

.

Обозначив давление смеси газов p = p₁+ p₂+…+ p_i, ее массу m = m₁+m₂+…

…+m_i и вводя среднюю молярную массу M смеси газов, посредством

равенства (1/M)=(1/m)[(m_1/ M₁)+ (m₂/ M₂)+…+ (m_i/ M_i )] перепишем

предыдущее уравнение для однокомпонентного газа

2. При постоянной температуре растворимость в данной жидкости каждого из компонентов газовой смеси, находящейся над жидкостью, пропорционален его парциальному давлению. Каждый газ смеси растворяется так, как будто остальных компонентов нет, т.е. в соответствии с законом Генри. Строго выполняется для смеси идеальных газов, применим и к реальным газам, если их растворимость невелика, а поведение близко к поведению идеального газа.

Если ввести в сосуд некоторое количество эфира при температуре Т, то молекулы эфира, испаряясь, увеличат концентрацию n и, следовательно, увеличится давление газа на стенки сосуда.

Принимая во внимание закон Дальтона, это дополнительное (парциальное) давление P_э будет равно:

, (1)

где n_э – концентрация молекул эфира.

Величина парциального давления определяется по манометру:

, (2)

где  – плотность манометрической жидкости, g – ускорение свободного падения, h – разность столбов жидкости в правом и левом коленах.

Приравнивая (1) и (2), получим:

    

Концентрация молекул определяется по формуле:

, (4)

где _– плотность эфира при данной температуре, V_э – объем эфира,

m₀ – масса молекулы эфира, V – объем баллона.

С учетом последнего соотношения получаем:

, (5)

В этом выражении масса молекулы эфира m₀ вычисляется по данным химической формулы эфира, плотность эфира и манометрической жидкости берется из таблиц, g = 9,80665 м/с².