7.5. Диффузионное уравнение

 

          При инжекции или экстракции неосновных носителей их распределение в объеме соответствующих областей полупроводника будет неравномерным. Хаотическое тепловое движение приведет в этом случае к возникновению макроскопического процесса переноса частиц, называемого диффузией. Как известно, количество частиц, переносимых при диффузии за единицу времени через  плоскость площадью s и перпендикулярную к направлению вектора градиента концентрации частиц, равно:

 

                                                                                            (7.15)

 

В этом уравнении: D - коэффициент диффузии, -значение градиента концентрации в рассматриваемой плоскости х. Знак "-" показывает, что диффузионный перенос совершается в направлении противоположном направлению градиента концентрации(dn/dx). Рассмотрим бесконечно тонкий слой dx, n-полупроводника, параллельный плоскости p-n перехода и ограниченный плоскостями x и x+dx (рис.7.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

Через границы х и х+dx этого слоя за единицу времени продиффундирует, соответственно

 

                                                                                            (7.16)

                                                                              (7.17)

дырок. Так как внутри слоя распределение дырок можно считать равномерным, то изменение количества дырок в слое за единицу времени можно представить как произведение объема слоя на скорость изменения концентрации дырок. С другой стороны, эта величина должна равняться разности (7.16) и (7.17). Следовательно:

                                                              (7.18)         

Градиент концентрации является непрерывной функцией х, поэтому:

                                    (7.19)

Учитывая (7.19), уравнение баланса (7.18) можно записать в виде:

                                                                                          (7.20)

Уравнение (7.20) носит название второго уравнения Фика.

          Если в полупроводнике не происходит никаких других процессов кроме диффузии, то концентрация неосновных носителей в любом элементе объема изменяется со скоростью, пропорциональной значению второй производной от концентрации этих носителей по координате в этом элементе объема. Заметим, что коэффициенты диффузии электронных и дырочных газов, соответственно, равны:

                                                                  (7.21)

где _n и _р  - длины свободного пробега соответствующих носителей заряда.

 

7.6. Уравнение непрерывности

 

          Нарушение равновесия в полупроводнике сопровождается протеканием одновременно всех трех рассмотренных кинетических процессов. Если считать эти процессы взаимно независимыми, что определенно имеет место при не очень высоких значениях градиента концентрации неосновных носителей и напряженности поля, то результирующая скорость изменения концентрации неосновных носителей будет равна сумме парциальных скоростей, т.е.:

 

                 (7.22)

 

Такое же уравнение можно написать и для электронов в р-полупроводнике.

          Уравнение (7.22) называют уравнением непрерывности. Это уравнение отражает в математической форме то естественное утверждение, что изменение концентрации носителей заряда в любом элементе объема полупроводника может произойти либо в результате генерации (рекомбинации) этих частиц, либо в результате прихода (ухода) их в процессе диффузии или электрического переноса, либо, наконец, в результате того, другого и третьего одновременно.

          Уравнение непрерывности является основным уравнением кинетики процессов в полупроводнике и позволяет определить концентрацию носителей заряда в любой точке полупроводника, в любой момент времени, при любом внешнем воздействии, нарушающем равновесие полупроводника. Определив концентрацию носителей, нетрудно будет определить пространственную и временную зависимость других физических величин, например, силы тока, протекающего как в однородном, так и в неоднородном полупроводнике любой структуры.

 

7.7. P-n переход

 

          Одной из важных в практическом отношении разновидностей электрического перехода является так называемый электронно-дырочный, или p-n переход, имеющий место, когда величина (N_d-N_a) в области неоднородности полупроводника изменяет знак с отрицательного на положительный или наоборот. Иначе говоря, электронно-дырочным или p-n переходом называется переход между двумя областями полупроводника, одна из которых имеет электропроводность p-типа, а другая n-типа.

 

        Схема включения p-n перехода во внешнюю цепь представлена на рис. 7.4.

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение концентрации примесей в идеализированном резком p-n переходе можно представить ступенчатой кривой  (рис.7.5.)

При х ≤ 0, N_a(x) = N_a = const, N_d = 0. При x ≥ 0, N_a = 0, N_d(x) = N_d = const. Плоскость х = 0 называется технологической границей перехода.

          В соответствии с ранее полученными выражениями распределение концентрации электронов и дырок в p-n переходе определяется функциями:

 

                                                                      (7.23)

 

Контактная разность потенциалов равна:

 

                                                 (7.24)

Здесь n_p и p_p - равновесные концентрации электронов и дырок в р-области полупроводника, n_n и р_n - равновесные концентрации тех же частиц в n-области полупроводника. W_1.n и W_1.p - энергии уровня Ферми в отдельно взятых n- и р- полупроводниках при той же концентрации примесей, что и в контактирующих областях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение Пуассона будет выглядеть следующим образом:

                                                   (7.25)

справедливое при х ≤ 0 и

                                                (7.26)

справедливое при х ≥ 0.

          Обозначим через (-х_р) координату границы пространственного заряда в р-области, а через (+х_n) координату границы пространственного заряда в n-области (рис.7.5). Величина р_ре^-qU/кТ очень быстро уменьшается при возрастании х, т.е. при удалении от границы (-х_р) в сторону границы (+х_n). Поэтому, почти во всем переходе эта величина пренебрежимо мала по сравнению как с N_a , так и с N_d. То же самое справедливо и в отношении величины n_pe^qU/кТ. Пренебрегая этими величинами, придем к уравнениям:

                                                                                              (7.25`)

                                                                                         (7.26`)

Решение уравнений (7.25`) и (7.26`) должны удовлетворять следующим граничным условиям:

U = 0 при х ≤ -х_р;

U = U_к при х ≥ х_n;

 при х ≤ х_р и х ≥ х_n.

          Интегрируя уравнение (7.25`) в пределах от х = -х<sub>р</sub> до х = 0, а уравнение (7.26`) в пределах от х = 0 до х = х_n, получим:

                                                                       (7.27)

                                                                          (7.28)

Поскольку в плоскости х = 0 оба решения должны тождественно совпадать, то, приравнивая их, приходим к важному выводу:

 

                                                                                        (7.29)

Ширина участков резкого p-n перехода, лежащих в каждой из контактирующих областей полупроводника, обратно пропорциональна концентрации примесей в этих областях.

          Напряженность поля в резком p-n переходе изменяется по линейному закону в каждой из областей, достигая максимума, равного  на технологической границе перехода (рис.7.5).

          Интегрируя (7.27) и (7.28) в тех же пределах, получим:

                                              (для х ≤ 0)                       (7.29)

                                        (для х ≥ 0)                      (7.30)

          Потенциал изменяется по квадратичному закону в зависимости от расстояния выбранной плоскости от каждой из границ пространственного заряда (рис.7.5).

          Так как (7.29) и (7.30) должны тождественно совпадать при х = 0, то из этого следует:

                                                                 (7.31)

Соотношение (7.31) позволяет определить положение границ пространственного заряда и полную ширину p-n перехода Δ₀ в состоянии равновесия.

                                 (7.32)

                                                      (7.33)

Если учесть (7.24), то

                                                     (7.34)

          Ширина равновесного p-n перехода увеличивается при увеличении температуры и уменьшении концентрации примесей.

Подставив (7.29) и (7.30) в (7.23), получим функции распределения концентрации СНЗ  в явном виде (рис.7.5). Заметим, что если N_d  N_a, то плоскость в которой n = p, т.е. плоскость инверсии типа проводимости (х₀ на рис.7.5) не совпадает с технологической границей перехода. Такой переход называют несимметричным переходом.