3.5 Ітераційні методи розв‘язування слар

Розглянемо два ітераційних метода: метод ітерацій (послідовних наближень) і метод Зейделя.

3.5.1 Метод ітерацій

Нехай задана СЛАР (3.1), яка записана в розгорнутому матричному вигляді (3.4). Якщо припустити, що діагональні елементи матриці А (і = 1, 2, …, n), то можна виразити х₁ через перше рівняння системи, х₂ – через друге рівняння і

т. д. У результаті одержимо систему, яка еквівалентна системі (3.1):

(3.8)

Позначимо , де і, j = 1, 2, …, n. Тоді система (3.8) запишеться так:

(3.9)

Систему (3.9) називають приведеною до нормального виду. Запишемо систему (3.9) в матричній формі:

або

(3.10)

Розв‘яжемо систему (3.10) методом ітерацій. За нульове наближення приймемо стовпець вільних членів:

– нульове наближення,

далі будуємо матриці-стовпці наступних наближень:

– перше наближення;

– друге наближення

і т.д.

Взагалі, будь-яке (k+1)-е наближення обчислюють за формулою

(k = 0, 1, …, n). (3.11)

Ітераційний процес продовжується доти, поки не буде виконано умову

де – задана абсолютна похибка; q – норма матриці , яка може бути визначена за однією із формул:

, .

В методі ітерацій заміна значень всіх змінних провадиться одночасно (одночасне зміщення).

3.5.2 Метод Зейделя

В методі Зейделя уточнене значення х₁ зразу ж використовується для обчислення х₂, далі нові значення х₁ і х₂ використовуються для обчислення х₃ і т. д.

Це невелике удосконалення ітераційної процедури дозволяє суттєво збільшити швидкість збіжності.

Б удь-яке (k+1)-е наближення в методі Зейделя будується за наступними формулами:

(3.12)

де k = 0, 1, 2, …, n.

Ітерації закінчуються, коли із заданою точністю одержано однакові значення невідомих у двох ітераціях підряд.

3.5.3 Умови збіжності ітераційного процесу

Ітераційний процес і його збіжність залежать від величини елементів матриці наступним чином: якщо найбільша сума модулів елементів рядків або найбільша сума модулів елементів стовпців менше одиниці, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв‘язку незалежно від вибору початкового наближення.

Отже, умови збіжності можна записати так:

(i = 1, 2, …, n) або (j = 1, 2, …, n).

3.5.4 Приведення СЛАР до виду, який придатний для ітерацій

Для виконання умов збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб значення елементів матриці при були невеликими з абсолютної величини.

Це рівносильно тому, що якщо для СЛАР модулі діагональних коефіцієнтів кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів (без врахування вільних членів), то ітераційні процеси для цієї системи збігаються.

Покажемо на прикладі, як виконується таке перетворення вихідної СЛАР.

Вихідна СЛАР:

Виконаємо наступні дії:

1) В заданій системі виділимо рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більші за суму модулів інших коефіцієнтів рівняння. Кожне виділене рівняння запишемо в таку строку нової СЛАР, щоб найбільший за модулем коефіцієнт був діагональним. В рівнянні (Q) виконується таке: . Приймемо рівняння (Q) за третє рівняння нової системи.

2) Інші рівняння нової еквівалентної системи одержимо шляхом складання лінійних незалежних між собою комбінацій. Так, за перше рівняння можна прийняти таку лінійну комбінацію (P)+(R), тоді маємо:

.

За друге рівняння нової системи – таку комбінацію (2Q)+(R)-(P), тобто

.

В результаті одержали перетворену СЛАР яка еквівалентна вихідній і задовольняє умовам збіжності ітераційного процесу:

Для перевірки цього твердження приведемо одержану систему до нормального виду і переконаємось, чи задовольняється хоч одна з умов збіжності. При цьому скористуємось таким способом: запишемо коефіцієнти при x₁, x₂, x₃ у відповідних рівняннях системи як mx, де m – число, що близьке до коефіцієнта при відповідному невідомому і на яке легко розділити коефіцієнти при невідомих і вільні члени. Наприклад, приймемо m = 10. Тоді система, що приводиться до нормального виду, перепишеться так:

Матриця і вектор приймають вид

, .

Суми модулів елементів рядків матриці :

0,24+0,05+0,24 = 0,53;

0,22+0,09+0,44 = 0,75;

0,18+0,25+0,54 = 0,97.

Більша із сум 0,97 < 1. Отже, одна з умов збіжності ітераційного процесу виконується. І хоч друга умова не виконується (більша сума модулів елементів стовпців 0,24+0,44+0,54 = 1,22 > 1) процес ітерації для системи, що розглядається, збігається до єдиного розв‘язку.