3.2 Розв‘язання матричних рівнянь

Розглянемо три види матричних рівнянь і способи їх розв‘язання.

Матричне рівняння виду . Для розв‘язання такого рівняння помножимо зліва обидві його частини на обернену матрицю :

.

Але добуток (одиничній матриці), отже, , звідки

. (3.5)

Матричне рівняння виду . Помножимо справа обидві його частини на : . Виходить , звідки

. (3.6)

Матричне рівняння виду . Помножимо обидві частини рівняння – зліва на , а справа на ; тоді одержимо

,

або , звідки

. (3.7)

3.3 Про методи розв‘язування слар

Методи поділяють на прямі, які використовують для обчислення невідомих кінцеві співвідношення (формули) і чисельні, які, в загальному випадку, поділяються на ітераційні методи і методи мінімізації.

Прямі методи дають розв‘язок після виконання заздалегідь відомої кількості операцій. Ці методи прості і універсальні. Разом з тим їм властиві такі недоліки:

– вони потребують зберігання в оперативній пам‘яті відразу всієї матриці – зайнято багато місця в пам‘яті ЕОМ;

– не враховують структуру матриці – нульові елементи також зберігаються в пам‘яті і над ними проводяться арифметичні дії;

– відбувається накопичення похибок в процесі розв‘язування (хоч прямі методи і називають точними), тому що обчислення на будь-якому етапі використовують результати попередніх операцій.

У зв‘язку з цим прямі методи використовують для порівняно невеликих (n<200) систем із щільно заповненою матрицею і не близьким до нуля визначником.

Ітераційні методи – це методи послідовних наближень. Вони потребують деякого наближеного розв‘язку – початкового наближення. Далі за визначеним алгоритмом виконується ряд ітерацій до одержання розв‘язку з необхідною точністю. Методи мають перевагу перед прямими в наступному:

– потребують зберігання не всієї матриці системи, а лише декількох векторів з n компонент; іноді елементи матриці можна зовсім не зберігати, а обчислювати їх при необхідності;

– похибки кінцевих результатів не накопичуються, тому що в кожній ітерації використовується результат тільки попередньої і не використовуються раніше виконані обчислення.

Але при цих перевагах збіжність ітераційних методів може бути дуже повільною.

3.4 Прямі методи розв‘язування слар

Прямі методи розглядаються у вузівському курсі «Вища математика» і в даному курсі про них тільки нагадаємо.

Отже, перший з прямих методів – це метод, що використовує формули Крамера, де невідомі визначаються як відношення визначників.

Найбільш поширеним прямим методом розв‘язання СЛАР на ЕОМ є метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса) і його модифікації.

Розглянемо один з різновидів методу Гаусса (компактну схему Гаусса) – метод LU–перетворення.

Компактні схеми Гауса використовуються для СЛАР із розрідженими матрицями довільної структури. В цих схемах застосовується тріангуляція матриць (трикутна декомпозиція) – суть якої полягає в перетворенні матрично-векторного рівняння (3.4) в рівняння з трикутними матрицями (методику перетворення квадратної матриці на добуток двох трикутних наведено нижче).

Порядок дій в методі LU–перетворення наступний:

1) виконується заміна матриці А на добуток двох трикутних матриць L і U; (в матриці U діагональні елементи дорівнюють одиницям);

2) розв‘язується відносно Y рівняння ;

3) розв‘язується відносно X рівняння .

Методика розкладання матриці на добуток двох трикутних матриць

Квадратну матрицю можна розкласти на дві трикутні (квадратні, в яких елементи, що розташовані вище (нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю) і це розкладення буде єдиним, якщо діагональним елементам однієї з трикутних матриць заздалегідь дати не рівні нулю значення (наприклад, такі, що дорівнюють одиницям).

Нехай , де Т₁ і Т₂ – трикутні матриці в одній з котрих діагональними елементами є одиниці. Інші елементи матриць Т₁ і Т₂ знаходять наступним чином:

1) перемножують матриці Т₁ і Т₂ (їх елементи – літерні позначення);

2) прирівнюють відповідні елементи матриці-добутку Т₁Т₂ елементам матриці А – одержують рівняння: одночленні, двочленні і т. д.;

3) розв‘язують одержані рівняння – спочатку одночленні, далі двочленні і т.д.