2 Наближені методи розв‘язування нелінійних (алгебричних і трансцендентних) рівнянь

2.1 Загальні відомості

Нехай задано рівняння з однією змінною

, (2.1)

де функція визначена і неперервна на деякому проміжку [R_Н, R_В].

Розв‘язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень [R_Н, R_В], при яких рівняння (2.1) перетвориться в тотожність. Якщо функція – алгебричний багаточлен, то рівняння (2.1) називають алгебричним. Якщо містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (2.1) називають трансцендентним.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебричних рівнянь ступеня і трансцендентних рівнянь не існує. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю.

Задача знаходження коренів рівняння (2.1) вважається розв‘язаною, якщо корені обчислені із наперед заданою точністю.

Наближене знаходження коренів рівняння (2.1) складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів, тобто виділення проміжків скінченої довжини (відрізків ізоляції коренів) де міститься один єдиний корінь рівняння;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю (уточнення коренів).

Корені рівняння (2.1) можуть бути дійсними і комплексними. Далі розглянуто наближені методи обчислення тільки дійсних коренів.

2.2 Відокремлення коренів

Найбільш поширеними методами відокремлення коренів є аналітичний і графічний.

Аналітичний метод передбачає розрахунок значень функції (і її знаків) в ряді точок. Для знаходження відрізків ізоляції коренів рівняння (2.1) в межах зони існування коренів [R_Н, R_В] достатньо визначити точки і , для яких f(a)·f(b) < 0, тобто f(a) і f(b) мають протилежні знаки. Для того, щоб гарантувати, що на відрізку [a, b] є тільки один корінь, необхідно розраховувати значення функції у великій кількості точок, що буває недоцільно.

Графічний метод відокремлення коренів існує в двох різновидах:

1) будують графік функції , знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис і визначають навколо цих точок відрізки [a, b];

2) всі члени рівняння (2.1) поділяють на дві групи, одну з яких записують в лівій, а другу – в правій частині рівняння, тобто зображують його у вигляді

і будують графіки функцій і ; далі знаходять межі (відрізки [a, b]), в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій y₁ і y₂.

2.3 До запитання про розв‘язання алгебричних рівнянь

2.3.1 Визначення кількості дійсних коренів

Наближено визначити кількість дійсних додатних коренів алгебричного рівняння

(2.2)

можна за допомогою правила Декарта: кількість дійсних додатних коренів алгебричного рівняння із дійсними коефіцієнтами дорівнює числу змін знаку в послідовності коефіцієнтів рівняння, або на парне число менше (коефіцієнти, що дорівнюють нулю не враховуються).

Кількість від‘ємних коренів алгебричного рівняння дорівнює числу змін знаку в послідовності коефіцієнтів рівняння або на парне число менше.

2.3.2 Визначення області існування коренів

Розглянемо два з декількох методів визначення верхньої межі додатних коренів рівняння .

Метод Лагранжа. Якщо коефіцієнти многочлена відповідають умовам a₀ > 0, a₁, a₂, …,a_m-1 ≥ 0, a_m < 0, то верхня межа додатних коренів рівняння (2.2) визначається за формулою

(2.3)

де В – найбільша із абсолютних величин від‘ємних коефіцієнтів.

Метод Ньютона. Якщо при х = С многочлен і його похідні , … приймають додатні значення, то С є верхньою межею додатних коренів рівняння .

Існує засіб визначення інших меж дійсних коренів з використанням методів визначення верхньої межі додатних коренів .

Якщо

рівняння ,

—″— —″— ,

—″— —″— ,

—″— —″— ,

то всі відмінні від нуля дійсні корені рівняння (якщо вони існують) лежать у середині інтервалів

і .

Визначимо, наприклад, межі додатних і від‘ємних коренів рівняння

.

Знайдемо за методом Лагранжа R₁, R₂, R₃, R₄. У многочлені a₀ = 8

> 0; а₁ = 0; а₂ = -8 < 0; a₃ = -32; a₄ = 1, m = 2. Отже, .

Для многочлена

Аналогічно знаходимо .

Далі, для многочлена

a₀ = 1 > 0; a₁ = -32 < 0, тобто m = 1, B = 32 i R₃ = 1 + 32 = 33.

Зрештою, для многочлена

Маємо a₀ = 1 > 0; a₁ = 32; a₂ = -8; a₃ = 0; a₄ = 8, тобто m = 2; B = 8. Тому .

Отже, якщо задане рівняння має дійсні корені, вони обов‘язково лежать у межах (-2; -1 / 3,828) і (1 / 33; 3).

2.3.3 Обчислення значень многочлена. Схема Горнера

Розв‘язування алгебричних рівнянь як на етапі відокремлення коренів, так і

при їх уточненні потребує багаторазових обчислень значень . Тому важливе значення має побудова найбільш економічних (з точки зору кількості операцій) алгоритмів.

П рипустимо, що треба розрахувати значення многочлена (див. (2.2)) при . Обчислення вигідно проводити для перетвореного запису (2.2) до наступного вигляду

(2.4)

Послідовне обчислення чисел (n множень і n додавань)

· · · · · · ·

дає значення .

А лгоритм розрахунку , який складено на основі виразу (2.4) називають схемою Горнера. Саме у вигляді схеми розрахунки розташовують так:

+

+

+

+

+

a₀ a₁ a₂ a₃ … a_n-1 a_n

ε b₀·ε b₁·ε b₂·ε … b_n-2·ε b_n-1·ε

b₀ b₁ b₂ b₃ … b_n-1 b_n.

В першому рядку записані коефіцієнти многочлена . В третій рядок переносять a₀ = b₀ і далі суму добутку кожного коефіцієнта b_i на ε із а_і+1.