1.4 Оцінка похибки функції (Загальна задача теорії похибок)
Задача
полягає у визначенні похибки функції
U
= f
за
відомими абсолютними (граничними)
похибками аргументів
Р
озв‘язання
загальної задачі одержують за допомогою
формул:
=
;
(1.7)
=
=
.
(1.8)
Наприклад,
треба визначити граничні абсолютну і
відносну похибки об‘єму кулі
при
см.
В даній
задачі аргументами є і d
і π,
тому що
– теж наближене число.За формулою (1.7)
маємо граничну абсолютну похибку
см3.
Гранична відносна похибка
.
1.5 Оцінка похибки математичних дій
На підставі формул (1.7), (1,8) можна сформулювати правила оцінки граничних похибок при виконанні математичних дій з наближеними числами.
– Похибки додавання (віднімання)
Нехай
,
де
.
Тоді
.
(1.9)
Якщо
при
,
то
.
(1.10)
– Похибки множення (ділення)
Нехай
де
.
Тоді
(1.11)
Граничну абсолютну похибку легко визначити за формулою
Якщо
при
,
то
.
(1.12)
– Похибки ступеня і кореня
Якщо
,
то
.
(1.13)
Якщо U
=
,
то
.
(1.14)
Оцінку похибки будь-якої послідовності математичних дій одержують при послідовному застосуванні наведених вище правил оцінки похибок. Наприклад, визначення граничної відносної похибки функції
виглядає так
1.6 Обернена задача теорії похибок
Задача полягає у визначенні абсолютних похибок аргументів функції, при яких абсолютна похибка функції не буде перевищувати заданого значення. Така задача однозначно розв‘язується тільки для функції одного аргументу. У загальному випадку для її розв‘язання використовують припущення про однаковий вклад всіх доданків у формулі (1.7) на формування похибки функції ΔU, тобто приймають
В
такому разі із (1.7) маємо
(1.15)
Наприклад,
розрахунок абсолютних похибок аргументів
функції
,
якщо
(при
)
виглядає так
;
1.7. Запитання для самоперевірки знань з теми 1
1. Що називають абсолютною похибкою? Відносною похибкою? Граничними абсолютною і відносною похибками?
2. Дайте визначення значущої і вірної значущої цифри числа.
3. Яку цифру наближеного числа вважають сумнівною?
4. Як можна зробити оцінку похибок?
5. Сформулюйте загальну і обернену задачі теорії похибок.
6. Яке припущення покладено в ідею одержання розв‘язку оберненої задачі теорії похибок?
7. Як оцінити абсолютну і відносну похибки функції за відомими абсолютними похибками аргументів?
8. Як визначити похибки математичних дій з наближеними числами?
З а в д а н н я на виконання практичних (лабораторних) робіт з теми 1
1) Визначити абсолютні похибки ΔХ* наближених чисел за їх відносною похибкою (індивідуальні завдання наведено в табл. 1.1).
2) Визначити кількість правильних значущих цифр у вузькому і широкому сенсі для наближених чисел (табл. 1.2).
3) Визначити граничні абсолютну і відносну похибки наближених чисел, якщо вони вміщують тільки правильні цифри (у вузькому і широкому сенсі) (табл. 1.3).
4) Визначити, яка із наближених рівностей точніше (табл. 1.4).
Вказівка: – записати значення лівих частин рівностей в десятинному зображенні з кількістю знаків після коми не менше п‘яти;
– визначити абсолютні похибки для обох виразів; заокруглити їх з надлишком (отримаєте граничні абсолютні похибки);
– визначити граничні відносні похибки і з їх порівняння дати відповідь на запитання.
5) Обчислити і визначити граничні похибки (абсолютну і відносну) результату (табл. 1.5).
6) Розрахувати абсолютні похибки аргументів функцій при умові, щоб абсолютна похибка функцій не перевищувала 0,01 (табл. 1.5).
Таблиця 1.1 – Варіанти до завдання 1 (тема 1)
Варіант |
Х |
|
|
Варіант |
Х |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
6,18 4,72 21,11 7,27 23,32 14,73 7,19 3,11 12,22 17,81 14,56 11,76 43,54 28,19 63,32 |
0,3% 0,007 0,004 0,2% O,005 0,1% 0,002 0,6% 0,4% 0,006 0,003 0,004 0,2% 0,4% 0,008 |
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
7,14 14,22 63,12 21,73 6,44 14,88 62,41 17,82 21,33 11,27 26,25 13,72 28,18 15,31 27,11 |
0,003 0,7% 0,5% 0,004 0,006 0,1% 0,3% 0,006 0,4% 0,008 0,005 0,5% 0,3% 0,006 0,2% |
Таблиця 1.2 – Варіанти до завдання 2 (тема 1)
Варіант |
Число |
|
Варіант |
Число |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
72,375 ± 0,0034 36,825 ± 0,0072 9,623 ± 0,066 0,056 ± 0,003 194,42 ± 0,06 84,172 ± 0,007 0,454 ± 0,001 214,72 ± 0,22 44,211 ± 0,044 0,011 ± 0,002 26,481 ± 0,008 0,087 ± 0,002 35,87 ± 0,004 144,97 ± 0,32 8,453 ± 0,071 |
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
0,965 ± 0.003 16.782 ± 0,004 33,674 ± 0,008 253,57 ± 0,38 8,492 ± 0,073 0,095 ± 0,002 4,973 ± 0,0054 18,065 ± 0,074 10,832 ± 0,077 5,941 ± 0,055 0,097 ± 0,006 27,785 ± 0,02 111,66 ± 0,07 31,84 ± 0,003 0,956 ± 0,002 |
Таблиця 1.3 – Варіанти до завдання 3 (тема 1)
Варіант |
У вузькому сенсі |
У широкому сенсі |
|
Варіант |
У вузькому сенсі |
У широкому сенсі |
1 2 3 4 |
15,644 9,450 0,005 60,34 |
0,6132 0,0452 11,342 0,975 |
|
5 6 7 8 |
43,51 0,0572 22,343 0,7531 |
0,0783 21,360 0,0067 31,720 |
Продовження таблиці 1.3
Варіант |
У вузькому сенсі |
У широкому сенсі |
|
Варіант |
У вузькому сенсі |
У широкому сенсі |
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
53,486 0,0564 6,490 23,897 16,121 0,965 54,901 10,099 0,0790 7,7777 6,873 |
0,630 55,073 0,056 1,0051 0,790 11,070 0,007 0,0034 24,888 0,0050 0,0551 |
|
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
8,952 0.579 12,485 0,359 93,072 0,0659 76,040 0,0090 70,905 0,9950 27,070 |
77,340 10,024 0,0674 12,075 0,0673 87,75 0,972 23,787 0,0083 34.756 0,0773 |
Таблиця 1.4 – Варіанти до завдання 4 (тема 1)
Варіант |
Наближені рівності |
|
Варіант |
Наближені рівності |
1
2
3
4
|
19 / 41 ≈ 0,463 7 / 15 ≈ 0,467
4 / 17 ≈ 0,235 15 / 7 ≈ 2,14
|
5
6
7
8
|
6 / 7 ≈ 0,857
12 /11 ≈ 1,091
2 / 21 ≈ 0,095
23 / 15 ≈ 1,53
|
≈ 6,63
≈ 5,48
≈ 3,24
≈ 3,16
≈ 2,19
≈ 2,61
≈ 4,69
≈ 3,13
Продовження таблиці 1.4
Варіант |
Наближені рівності |
|
Варіант |
Наближені рівності |
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 |
6 / 11 ≈ 0,545
17 / 19 ≈ 0,895
21 / 29 ≈ 0,723 ≈ 6,63 50 / 19 ≈ 2,63
13 / 17 ≈ 0,764
7 / 22 ≈ 0,318
17 / 11 ≈ 1,545
5 / 3 ≈ 1,667
49 / 13 ≈ 3,77
13 / 7 ≈ 1,857
19 / 12 ≈ 1,58
|
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 |
51 / 11 ≈ 4,64
18 / 7 ≈ 2,57 ≈ 4,69 19 / 9 ≈ 2,11
16 / 7 ≈2,28
20 / 13 ≈ 1,54
12 / 7 ≈ 1,71
6 / 7 ≈ 0,857
23 / 9 ≈ 2,56
27 / 31 ≈ 0,872
7 / 3 ≈ 2,33
14 / 17 ≈ 0,823
|
≈ 9,11
≈ 7,21
≈ 5,19
≈ 5,56
≈ 3,60
≈ 4,24
≈ 6,16
≈ 3,74
≈ 2,64
≈ 3,46
≈ 5,91
≈ 4,12
≈ 3,32
≈ 7,94
≈ 6,86
≈ 6,40
≈ 9,33
≈ 6,48
≈ 7,61
≈ 7,28Таблиця 1.5 – Варіанти до завдань 5 і 6 (тема 1)
Варіант |
Функція |
Аргументи |
||
a |
b |
c |
||
1 |
|
17,12 ± 0,01 |
2,69 ± 0,002 |
27,44 ± 0,03 |
2 |
|
24,97 ± 0,02 |
6,18 ± 0,005 |
5,12 ± 0,004 |
3 |
|
16,72 ± 0,04 |
9,74 ± 0,002 |
2,12 ± 0,003 |
4 |
|
4,53 ± 0,01 |
20,67 ± 0,03 |
13,96 ± 0,02 |
5 |
|
5,18 ± 0,002 |
2,93 ± 0,001 |
7,54 ± 0,005 |
6 |
|
24,72 ± 0,03 |
7,15 ± 0,005 |
4,12 ± 0,01 |
7 |
|
16,03 ± 0,01 |
24,13 ± 0,008 |
0,55 ± 0,002 |
8 |
|
29,33 ± 0,005 |
19,16 ± 0,02 |
0.85 ± 0,003 |
9 |
|
10,11 ± 0,003 |
2,12 ± 0,004 |
26,82 ± 0,02 |
10 |
|
7,15 ± 0,008 |
0,38 ± 0,003 |
10,18 ± 0,01 |
11 |
|
8,97 ± 0,01 |
3,11 ± 0,004 |
2,17 ± 0,006 |
12 |
|
5,23 ± 0,006 |
7,02 ± 0,004 |
0,87 ± 0,02 |
13 |
|
14,93 ± 0,007 |
4,88 ± 0,01 |
13,01 ± 0,003 |
Продовження таблиці 1.5
Варіант |
Функція |
Аргументи |
||
a |
b |
c |
||
14 |
|
23,87 ± 0,01 |
11,72 ± 0,005 |
8,24 ± 0,002 |
15 |
|
63,75 ± 0,007 |
9,18 ± 0,003 |
3,11 ± 0,003 |
16 |
|
2,84 ± 0,006 |
66,77 ± 0,01 |
7,56 ± 0,002 |
17 |
|
3,16 ± 0,004 |
12,17 ± 0,01 |
5,13 ± 0,003 |
18 |
|
1,512 ± 0,003 |
4,03 ± 0,01 |
8,92 ± 0,004 |
19 |
|
4,16 ± 0,005 |
11,22 ± 0,003 |
10,12 ± 0,007 |
20 |
|
12,63 ± 0,003 |
9,31 ± 0,01 |
21,71 ± 0,01 |
21 |
|
44,13 ± 0,008 |
2,85 ± 0,004 |
38,42 ± 0,003 |
22 |
|
5,11 ± 0,002 |
8,34 ± 0,005 |
15,87 ± 0,006 |
23 |
|
3,88 ± 0,003 |
10,15 ± 0,01 |
6,18 ± 0,005 |
24 |
|
0,13 ± 0,006 |
52,14 ± 0,004 |
30,24 ± 0,01 |
25 |
|
47,24 ± 0,01 |
0,56 ± 0,003 |
3,18 ± 0,004 |
26 |
|
24,91 ± 0,003 |
3,11 ± 0,002 |
15,11 ± 0,01 |
Продовження таблиці 1.5
Варіант |
Функція |
Аргументи |
||
a |
b |
c |
||
27 |
|
8,93 ± 0,01 |
0,315 ± 0,005 |
89,22 ± 0,003 |
28 |
|
9,57 ± 0,006 |
63,91 ± 0,01 |
3,17 ± 0,002 |
29 |
|
2,87 ± 0,003 |
1,372 ± 0,004 |
57,14 ± 0,01 |
30 |
|
19,76 ± 0,01 |
4,86 ± 0,003 |
2,12 ± 0,002 |
