5.5 Запитання для самоперевірки знань з теми 5

1. Які способи завдання функцій існують? Їх достоїнства й недоліки.

2. Як формулюється задача наближення функцій? В чому полягають задачі інтерполяції і апроксимації функцій?

3. В яких випадках використовуються інтерполяційні формули Лагранжа, Ньютона (перша і друга), Гаусса?

4. Яким чином зручно визначати кінцеві різниці, що застосовуються в формулах Ньютона?

5. Що являє собою таблиця центральних різниць?

6. Що таке глобальна і локальна інтерполяція? Найпростіші види локальної інтерполяції?

7. Як практично вибрати вид емпіричної функції з набору найпростіших функцій ( )?

8. Як переконатися в тому, що вид емпіричної формули обрано вірно?

9. Як практично уточнити коефіцієнти а і b емпіричної фнкції?

10. Як визначити степінь і коефіцієнти алгебричного поліному при застосуванні останнього за вид емпіричної функції?

З а в д а н н я на виконання практичних (лабораторних) робіт з теми 5

1) Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа для заданої табл. 5.8 функції.

2) Ньютон

3) Локальн інтерп

4) Апроксимація

6 Чисельне інтегрування і диференціювання

6.1 Чисельне інтегрування

6.1.1 Вступні зауваження

Нехай на відрізку задана функція (рис.6.1). Розіб‘ємо відрізок на елементарних відрізків , причому , . На кожному

Рисунок 6.1 – До поняття визначеного інтеграла

відрізку оберемо довільну точку і знайдемо добуток значення функції в цій точці на довжину елементарного відрізка :

.

Складемо суму всіх таких добутків – інтегральну суму

. (6.1)

Визначеним інтегралом від функції на відрізку називають межу інтегральної суми при необмеженому збільшенні кількості точок розбиття; при цьому довжина найбільшого з елементарних відрізків наближається до нуля:

. (6.2)

Якщо функція неперервна на , то межа інтегральної суми існує і не залежить ні від способу розбиття відрізка на елементарні відрізки, ні від вибору точок .

Якщо підінтегральна функція задана в аналітичному виді, визначений інтеграл можна обчислити з допомогою невизначеного інтеграла (вірніше першообразної). Визначений інтеграл дорівнює прирощенню першообразної F(x) на відрізку інтегрування і обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця

. (6.3)

На практиці формулою (6.3) часто не можна скористуватися з двох причин:

– вид f(x) не допускає безпосереднього інтегрування;

– функція f(x) задана у вигляді таблиці.

В цих випадках застосовуються методи чисельного інтегрування. Вони засновані на апроксимації підінтегральної функції деякими більш простими виразами, наприклад, інтерполяційними многочленами, що дозволяє наближено замінити визначений інтеграл інтегральною сумою. В залежності від способу її обчислення одержують різні формули чисельного інтегрування, так звані квадратурні формули (формули прямокутників, трапецій, парабол і інші).

6.1.2 Метод прямокутників і трапецій

Метод прямокутників (найпростіший) безпосередньо використовує заміну визначеного інтеграла інтегральною сумою. За точки r_i можуть бути обрані ліві (r_i = x_i-1) або праві (r_i = x_i) границі елементарних відрізків. При позначенні

f(x_i) = y_i, Δx_i = h_i

одержимо наступні формули метода прямокутників відповідно до указаних випадків (ліві, праві):

Широко поширеним і більш точним є вид формули прямокутників, що використовує значення функції в середніх точках елементарних відрізків (в півцілих вузлах)

де x_i-1/2 = (x_i-1+x_i)/2 = x_i-1+h_i/2, i = 1,2,…,n.

Найчастіше під методом прямокутників розуміють алгоритм (6.6). Його ще називають методом середніх.

Метод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік y = f(x) зображується у вигляді ламаної, що з‘єднує точки (x_i, y_i). В цьому випадку площа всієї фігури складається з площ елементарних прямолінійних трапецій.