1 Елементи теорії похибок

1.1 Задачі обчислювальної математики

Розв‘язування будь-якої реальної фізичної задачі починається з математичного формулювання цієї задачі, яке полягає в побудові математичної моделі, що враховує суттєві сторони явища, яке аналізується, і встановлює функціональні залежності між різними характерними величинами цього явища. Побудову саме розв‘язання задачі в явному вигляді поєднують з вибором методу розв‘язування. Лише у випадку найпростіших математичних моделей вдається отримати аналітичні (точні) розв‘язки. Здебільшого (складніші моделі) такі розв‘язки знайти неможливо. Тоді використовують наближені і числові методи розв‘язування.

Побудовою наближених і числових методів та їх реалізацією займається обчислювальна математика. Розв‘язання задач з використанням указаних методів потребує виконання великого обсягу обчислювальних робіт, які можна здійснити за допомогою сучасних ЕОМ. При цьому слід уміти оцінити похибку обчисленого розв‘язку, яка містить:

– похибку математичної моделі (модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями);

– неусувну похибку, яка зумовлена похибками у вхідних даних (що отримані, наприклад, за допомогою вимірювань);

– похибки методу (пов‘язані з необхідністю заміни неперервної моделі дискретною або з обривом нескінченного ітераційного процесу після скінченної кількості ітерацій);

– обчислювальні похибки (похибки заокруглення чисел, похибки математичних дій та функцій).

Оцінка похибки може бути здійснена за допомогою:

– абсолютної похибки;

– відносної похибки;

– залишкового члену;

– статистичних оцінок.

1.2 Абсолютна і відносна похибки

Наближеним числом а є число, яке незначно відрізняється від точного числа А і замінює його при проведенні обчислень.

А бсолютна похибка наближеного числа а

= |А - а|. (1.1)

Можливі два випадки:

1) точне число А відоме – тоді абсолютна похибка Δ_а розраховується за формулою (1.1);

2) точне число А невідоме – в такому разі використовують поняття граничної абсолютної похибки

≥ |А - а|. (1.2)

Значення числа А записують так:

А = а ±

Відносна похибка наближеного числа а

δ_а = (1.3)

Часто використовують ще відносну похибку δ_а·100%. Існує також поняття граничної відносної похибки

≥ .

Можна прийняти

= . (1.4)

3. Значуща цифра числа. Вірна значуща цифра

Будь-яке наближене число а в десятинній (як і у будь-якій позиційній) системі числення можна записати у вигляді

(1.5)

де а_і – цифри числа (і = 1, 2, …, n) (а₁  0); m – ціле число (старший розряд числа а).

Точність обчислення визначає не кількість десятинних знаків, а кількість значущих цифр результату.

Значущими цифрами числа а називають всі цифри в його десятинному зображенні, починаючи з першої цифри зліва, відмінної від нуля. Наприклад, числа 0,001405 і 5,0300 мають відповідно чотири і п‘ять значущих цифр.

Точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від того, скільки значущих цифр заслуговують довіри, тобто від кількості правильних значущих цифр.

З начущу цифру а_n числа (1.5) називають правильною, якщо абсолютна похибка цього числа

Δ_а  ·10^m-n+1. (1.6)

В залежності від величини  в (1.6) говорять про правильність значущих цифр у вузькому ( = 0,5) і широкому ( = 1,0) сенсі. Якщо нерівність (1.6) не виконується, то цифру а_n називають сумнівною.