Положення висоти у деяких видах пірамід

1. Якщо всі бічні ребра піраміди рівні або рівно нахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр описаного навколо основи кола.

2. Якщо всі бічні грані піраміди нахилені до основи під одним і тим самим кутом або всі висоти бічних граней рівні, то висота піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу піраміди.

Зрізаною пірамідою називається частина піраміди, що обмежена основою і січною площиною, яка паралельна основі.

Паралельні грані зрізаної піраміди називають її основами, а всі інші – бічними гранями.

Основи зрізаної піраміди – подібні многокутники, їх відповідні сторони попарно паралельні, тому бічні грані зрізаної піраміди – трапеції.

Висотою зрізаної піраміди називається перпендикуляр, проведений із якої-небудь точки однієї основи на площину другої основи.

Повна поверхня піраміди:

S_пол= S_бок + S_осн

S_бок= P_осн · l

, де P_осн– периметр основи,

l

S_бок=

– апофема ( – полупериметр)

, де φ – кут нахилу усіх бічних граней до площини основи

Об’єм піраміди:

V = S_осн · H

, де S_осн– площа основи, H – висота

Контрольні запитання

1. Означення призми, грані, ребра, вершини, діагоналі, висоти, перерізу призми.

2. Означення правильної призми, паралелепіпеда, прямокутного паралелепіпеда, куба.

3. Повна поверхня призми, формули для обчислення площ бічної та повної поверхонь призми.

4. Означення піраміди, грані, ребра, вершини, висоти, перерізу піраміди.

5. Означення правильної піраміди, апофеми.

6. Повна поверхня піраміди, формули для обчислення площ бічної та повної поверхонь піраміди.

7. Об’єм призми та піраміди.

Завдання для самостійного виконання

Розв’язання завдань 1 -5 обов’язково треба ілюструвати малюнком відповідного многогранника. Малюнок виконується за допомогою олівця та лінійки.

Без малюнка задача зараховується частково.

Індивідуальні завдання

Завдання 1 ( 2 бали) Знайти повну поверхню прямої призми

№ вар	Основа призми	Висота призми
1	Прямокутний трикутник з катетом 4 см і прилеглим кутом 300	8 см
2	Рівнобічна трапеція з основами 3 см і 9 см та висотою 4 см	3 см
3	Трикутник зі сторонами 4см та 5 см та кутом 450 між ними	10 см
4	Рівносторонній трикутник зі стороною 10 см	5 см
5	Ромб з діагоналями 4 см і 8 см	7 см
6	Прямокутний трикутник з катетом 10 см і протилежним кутом 600	8 см
7	Трикутник зі сторонами 10 см, 17 см і 21 см	12 см
8	Паралелограм зі сторонами 3 см і 7 см та кутом 300	5 см
9	Прямокутний трикутник з гіпотенузою 7 см і кутом 300	3 см
10	Ромб зі стороною 10 см і кутом 1350	7 см
11	Трикутник зі сторонами 20 см, 21 см, 29 см	9 см
12	Прямокутний трикутник з катетом 3 см і гіпотенузою 5 см	2 см
13	Паралелограм зі сторонами a=9cм іb=7 смвисотою ha=5cм	4 см
14	Рівнобедрений трикутник з основою 6см і бічною стороною 5 см	8 см
15	Прямокутний трикутник з катетом 2 см і прилеглим кутом 600	12 см
16	Трикутник зі сторонами 3 см та 7см і кутом 60о між ними	5 см
17	Прямокутний трикутник з катетом 12 м та гіпотенузою 15м	4 м
18	Прямокутний трикутник з катетом 5 см і гіпотенузою 13 см	12 см
19	Рівнобічна трапеція з основами 10 см і 16 см і висотою 2 см	15 см
20	Ромб з діагоналями см і см	9 см
21	Прямокутний трикутник з катетом 4 см і протилежним кутом 300	7 см
22	Паралелограм зі сторонами a=12cм іb=20см та висотою ha=3cм	10 см
23	Рівносторонній трикутник зі стороною м	12 м
24	Прямокутний трикутник з гіпотенузою 9 см і кутом 450	14 см
25	Паралелограм зі сторонами 11 см і 16 см та кутом 600	16 см
26	Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см	6 см
27	Прямокутний трикутник з катетом 6 см і гіпотенузою 10 см	3 см
28	Трикутник зі сторонами 17 см, 65 см і 80 см	10 см
29	Трикутник зі сторонами 2см та 5 см та кутом 600 між ними	11 см
30	Ромб зі стороною 14 см і кутом 600	11 см
31	Прямокутний трикутник з катетом 8 см і протилежним кутом 300	9 см
32	Рівносторонній трикутник зі стороною м	10 м
33	Трикутник зі сторонами 5см та 6 см та кутом 600 між ними	10 см
34	Ромб зі стороною 8 см і кутом 600	12 см

Завдання 2 (2 бали) Знайти об’єм призми

№ вар	Основа призми	Висота призми
1	Ромб з діагоналями 4 см і 8 см	8 см
2	Прямокутний трикутник з катетом 10 см і протилежним кутом 600	3 см
3	Трикутник зі сторонами 10 см, 17 см і 21 см	10 см
4	Паралелограм зі сторонами 3 см і 7 см та кутом 300	5 см
5	Прямокутний трикутник з катетом 4 см і прилеглим кутом 300	7 см
6	Трапеція з основами 3 см і 9 см та висотою 4 см	8 см
7	Трикутник зі сторонами 4см та 5 см та кутом 450 між ними	12 см
8	Рівносторонній трикутник зі стороною 10 см	5 см
9	Трикутник зі стороною a=14cм івисотою ha=7cм	3 см
10	Прямокутний трикутник з катетом 3 см і гіпотенузою 5 см	7 см
11	Прямокутний трикутник з гіпотенузою 7 см і кутом 300	9 см
12	Ромб зі стороною 10 см і кутом 1350	2 см
13	Прямокутний трикутник з катетом 2 см і прилеглим кутом 600	4 см
14	Трикутник зі стороною a=3cм івисотою ha=1cм	8 см
15	Паралелограм зі стороною a=9cм івисотою ha=5cм	12 см
16	Рівнобедрений трикутник з основою 6см і бічною стороною 5 см	5 см
17	Трапеція з основами 10 см і 16 см і висотою 2 см	4 см
18	Паралелограм зі сторонами 11 см і 16 см та кутом 600	12 см
19	Прямокутний трикутник з катетом 12 м та гіпотенузою 15м	15 м
20	Прямокутний трикутник з катетом 4 см і протилежним кутом 300	9 см
21	Ромб з діагоналями см і см	7 см
22	Трикутник зі сторонами 2см та 5 см та кутом 600 між ними	10 см
23	Ромб зі стороною 14 см і кутом 600	12 см
24	Трикутник зі сторонами 17 см, 65 см і 80 см	14 см
25	Прямокутний трикутник з катетом 5 см і гіпотенузою 13 см	16 см
26	Прямокутний трикутник з катетом 6 см і гіпотенузою 10 см	6 см
27	Прямокутний трикутник з катетом 8 см і протилежним кутом 300	9 см
28	Рівносторонній трикутник зі стороною м	10 м
29	Трикутник зі сторонами 5см та 6 см та кутом 600 між ними	10 см
30	Ромб зі стороною 8 см і кутом 600	12 см
31	Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см	3 см
32	Прямокутний трикутник з гіпотенузою 9 см і кутом 450	10 см
33	Паралелограм зі стороною a=12cм і висотою ha=3cм	11 см
34	Рівносторонній трикутник зі стороною м	11 м

Завдання 3 (2 бали) Знайти об’єм піраміди

№ вар	Основа піраміди	Висота піраміди
1	Рівнобічна трапеція з основами 12 см і 20 см і бічною стороною 5 см	3 см
2	Правильний шестикутник, менша діагональ якого см	5 см
3	Рівнобічна трапеція з основами 18 см і 28 см і бічною стороною 13 см	6 см
4	Прямокутна трапеція з основами 12 см і 20 см і більшою бічною стороною 10 см	11см
5	Рівнобічна трапеція з основами 3 см і 11 см і кутом 300	4 см
6	Правильний шестикутник, менша діагональ якого 15 см	8 см
7	Рівнобічна трапеція з основами 23 см і 53 см і бічною стороною 17 см	5 см
8	Прямокутна трапеція з основами 3 см і 11 см і кутом 60о	2 см
9	Рівнобічна трапеція з основами 16 см і 20 см і діагоналлю см	7 см
10	Рівнобічна трапеція з основами 6 см і 22 см і бічною стороною 17 см	3см
11	Рівнобічна трапеція з основами 12 см і 52 см і бічною стороною 25 см	2 см
12	Прямокутна трапеція з основами 8 см і 13 см і кутом 45о	2 см
13	Рівнобічна трапеція з основами 12 см і 18 см і діагоналлю 25 см	7 см
14	Прямокутна трапеція з більшою основою 17 см і бічними сторонами 4 см і 5 см	8 см
15	Рівнобічна трапеція з основами 6 см і 16 см і бічною стороною 13 см	3 см
16	Рівнобічна трапеція з основами 4 см і 16 см і кутом 450	8 см
17	Правильний шестикутник, менша діагональ якого см	10 см
18	Рівнобічна трапеція з основами 11 см і 18 см і кутом 300	5 см
19	Правильний шестикутник, менша діагональ якого 18 см	3 см
20	Рівнобічна трапеція з основами 6 см і 18 см і діагоналлю 15см	6 см
21	Прямокутна трапеція з меншою основою 12 см і бічними сторонами 3 см і 5 см	7 см
22	Рівнобічна трапеція з основами 17 см і 31 см і діагоналлю 26 см	5 см
23	Прямокутна трапеція з більшою основою 24 см і бічними сторонами 12 см і 13 см	12 см
24	Рівнобічна трапеція з основами 10 см і 18 см і бічною стороною 5 см	12 см
25	Прямокутна трапеція з основами 13 см і 15 см та кутом 60о	16 см
26	Рівнобічна трапеція з основами 14 см і 18 см та кутом 30о	6 см
27	Прямокутна трапеція з меншою основою 9 см, висотою см та кутом 60о	5 см
28	Прямокутна трапеція з меншою основою 12 см і бічними сторонами 4 см і 5 см	10 см
29	Рівнобічна трапеція з діагоналлю 15 см та основами 7 см і 17см	11 см
30	Прямокутна трапеція з більшою основою 12 см і бічними сторонами 3 см і 5 см	4 см
31	Рівнобічна трапеція з основами 8 см і 4 см і кутом 300	10 см
32	Рівнобічна трапеція з діагоналлю 13 см та основами 10 см і 14см	11 см
33	Рівнобічна трапеція з основами 25 см і 35 см і бічною стороною 13 см	7 см
34	Прямокутна трапеція з основами 5 см і 11 см і кутом 60о	10 см

Завдання 4 (4 бали) Розв’язати задачу:

1)В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом вписаного кола r. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо r = 7 см, α = 60^о.

2) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 24 см, β = 60^о.

3) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи, а два інших дорівнюють b і утворюють з основою кут φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, α = 60^о, φ = 45^о.

4)В основі піраміди лежить правильний трикутник зі стороною α. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити об’єм цієї піраміди. Обчислити, якщо a = 6 см, α = 60^о.

5) В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом описаного кола R. Одна з граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо R = 6 см, β = 60^о.

6) В основі піраміди лежить правильний трикутник, площа якого дорівнює S. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо S = 36 см², α = 45^о.

7) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з граней піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 12 см, β = 60^о.

8) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Дві грані, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює h. Обчислити, якщо h = 12 см, α = 30^о, β = 45^о.

9)В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з радіусом описаного кола R. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до площини основи і утворюють між собою двогранний кут α. Визначити об’єм піраміди, якщо третя бічна грань нахилена до площини основи під кутом β. Обчислити, якщо R = 6 см, α = 60^о, β = 45^о.

10) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі і радіусом вписаного кола r. Бічна грань, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна о площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщоr = 6 см,α = 60^о, β = 60^о.

11)В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом вписаного кола r. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо r = 7 см, α = 60^о.

12) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 24 см, β = 60^о.

13) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи, а два інших дорівнюють b і утворюють з основою кут φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, α = 60^о, φ = 45^о.

14)В основі піраміди лежить правильний трикутник зі стороною α. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити об’єм цієї піраміди. Обчислити, якщо a = 6 см, α = 60^о.

15) В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом описаного кола R. Одна з граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо R = 6 см, β = 60^о.

16) В основі піраміди лежить правильний трикутник, площа якого дорівнює S. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо S = 36 см², α = 45^о.

17) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з граней піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 12 см, β = 60^о.

18) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Дві грані, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює h. Обчислити, якщо h = 12 см, α = 30^о, β = 45^о.

19)В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з радіусом описаного кола R. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до площини основи і утворюють між собою двогранний кут α. Визначити об’єм піраміди, якщо третя бічна грань нахилена до площини основи під кутом β. Обчислити, якщо R = 6 см, α = 60^о, β = 45^о.

20) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі і радіусом вписаного кола r. Бічна грань, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна о площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщоr = 6 см,α = 60^о, β = 60^о.

21)В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом вписаного кола r. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо r = 7 см, α = 60^о.

22) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 24 см, β = 60^о.

23) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи, а два інших дорівнюють b і утворюють з основою кут φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, α = 60^о, φ = 45^о.

24)В основі піраміди лежить правильний трикутник зі стороною α. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити об’єм цієї піраміди. Обчислити, якщо a = 6 см, α = 60^о.

25) В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом описаного кола R. Одна з граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо R = 6 см, β = 60^о.

26) В основі піраміди лежить правильний трикутник, площа якого дорівнює S. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо S = 36 см², α = 45^о.

27) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з граней піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 12 см, β = 60^о.

28) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Дві грані, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює h. Обчислити, якщо h = 12 см, α = 30^о, β = 45^о.

29)В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з радіусом описаного кола R. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до площини основи і утворюють між собою двогранний кут α. Визначити об’єм піраміди, якщо третя бічна грань нахилена до площини основи під кутом β. Обчислити, якщо R = 6 см, α = 60^о, β = 45^о.

30) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі і радіусом вписаного кола r. Бічна грань, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна о площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом β. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщоr = 6 см,α = 60^о, β = 60^о.

31)В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом вписаного кола r. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо r = 7 см, α = 60^о.

32) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом β. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює H. Обчислити, якщо H = 24 см, β = 60^о.

33) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи, а два інших дорівнюють b і утворюють з основою кут φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, α = 60^о, φ = 45^о.

34)В основі піраміди лежить правильний трикутник зі стороною α. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені під кутом α. Визначити об’єм цієї піраміди. Обчислити, якщо a = 6 см, α = 60^о.