12. Обслуживание простейшего потока вызовов полнодоступным пучком с ожиданием при показательном распределении длительности занятия. Постановка задачи. Диаграмма переходов и состояний.
М/М/V/r=const.
КС однозвенная, полнодоступная, в вых
системы включен полнодоступный пучок,
в системе имеется бесконечное число
комплектов ожидания.
,
длительность обслуживания подчиняется
экспоненциальному закону:
Если имеются свободные линии, то из
очереди вызовы обслуживаются в порядке
поступления.
.
Постановка задачи. Полнодоступный пучок емкостью (1<) линий, включенный в неблокирующую коммутационную систему с ожиданием, обслуживает поступающий простейший поток вызовов с параметром . Каждый поступивший вызов для обслуживания занимает любую свободную линию пучка. Если все линий заняты в момент поступления вызова, то последний становится в очередь на ожидание до освобождения занятых другими вызовами линий пучка. Поступающие на ожидание вызовы могут образовать очередь различной конечной длины. Вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди.
Длительность занятия линии обслуживанием вызова полагаем случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром : F(t)=1–e–t.
Определим вероятности различных состояний полнодоступного пучка и длины очереди вызовов, находящихся на ожидании, функцию распределения времени ожидания вызовом начала обслуживания, математические ожидания времени ожидания и длины очереди.
Обозначим через i состояние системы в произвольный момент времени t. Это значит, что в системе на обслуживании и ожидании находится i=0, 1, 2,... вызовов. Если в момент t в системе находится i< вызовов, то все они находятся на обслуживании. При i=+r вызовов находятся на обслуживании (заняты все линий пучка), а остальные r=i– вызовов находятся на ожидании (r – длина очереди).
Поскольку в
рассматриваемой задаче на обслуживание
поступают вызовы простейшего потока,
то параметр потока занятий
,
i=0, 1, 2,....
Параметр потока освобождений
13. Системы с ожиданием при постоянной длительности занятия.
Математическая
модель таких систем записывается в
следующем виде M|D|V|r=
Пуассоновский поток (нагр.) на входе.
V-кол-во обслуживаемых приборов
R – время ожидания
D – дисциплина обслуживания. Длительность.
К таким системам (длит. занятия const) может быть отнесены управляющие устройства, координатные и квазиэлектронные АТС.
Существуют две математические модели для таких систем:
- модель Кроммелина
- модель Берке
Основное отличие этих моделей от модели Эрланга:
1) здесь рассматривается
только постоянная длительность
обслуживания (h)
2) в модели Кроммелина рассматривается обслуживание вызовов в порядке из поступления, также предполагается, что все поступившие вызовы будут обслужены, т.е. Y=YО.
3) И были получены
графические зависимости
для различных значений
нагрузка на один обслуживаемый прибор
или на одну линию.
,
4) модель Кроммелина
существует как для однолинейных систем
V=1,
так и для многолинейных V
1.
Модель Берке отличает от м. Кроммелина тем, что в м.Б. рассматривается случайный выбор вызовов из очереди.
Если сравнить кривые Кроммелина и Берке, то…
Е
сли
рассмотреть механические АТС и
механико-электрические АТС, то длительность
занятия h
для таких управляющих устройств находятся
в диапазоне 10мс – 1с
Для цифровых систем коммутации в случае программного управления длительность занятия управляющих устройств составляет менее 5мс. Это позволяет допускать величину t* до 100 и более единиц.
Управляющие устройства, как правило, обслуживают вызовы с ожиданием со случайным выбором из очереди. Если считать поступающий поток простейшим, длит-ть работы управл устройства – постоянной, то модель Берке наиболее близка к условиям работы одного управляющего устройства. Если обслуживание осуществляется несколькими управл устройствами, то использ-ся многолинейная модель Кроммелина.