Momeнt количества движения

Количеством движения, или импульсом частицы, называется произведение ее массы m на скорость v. Изменение импульса происходит тогда и только тогда, когда на частицу действует сила. Если сила не действует, импульс сохраняется, его величина не зависит от времени. Закон сохранения импульса, как и закон сохранения энергии, - один из основных законов природы. Во всех без исключения случаях, что бы ни происходило с системой тел любой природы, ее энергия и импульс не изменяются, лишь перераспределяясь между частями системы, если она ни с чем не взаимодействует (а это и означает, что на нее не действует сила).

В атоме водорода движущийся электрон испытывает силу притяжения ядра. Поскольку ядро в тысячи раз тяжелее электрона, можно принять, что оно неподвижно относительно центра масс системы, и считать, что в любом атоме движутся только электроны.

Пока ограничимся атомом водорода. При движении электрона вокруг протона сохраняется его полная энергия Е, равная сумме потенциальной и кинетической энергий. Импульс электрона меняется, так как на него действует сила притяжения. Но в данном конкретном случае есть другая величина, которая остается неизменной.

Когда частица массы m вращается со скоростью v по окружности радиуса r, то одной из важнейших характеристик ее движения, наряду с энергией, служит момент количества движения (импульса), или просто момент. Обозначим его буквой М. Буквы М и v напечатаны жирным шрифтом, чтобы подчеркнуть: скорость и момент количества движения - величины векторные. Вектор М направлен по оси вращения, а в какую сторону, зависит от направления вращения.

При движении частицы под действием силы, обладающей центральной симметрией (а именно такова сила, притягивающая электрон к ядру), момент не зависит от времени - на всей траектории он один и тот же. Можно сказать иначе. Траектория частицы определяется ее энергий Е и моментом М (его величиной и направлением): траектория (при Е < 0 эллипс или окружность ) лежит в плоскости, перпендикулярной вектору момента М. Величина момента М и энергия Е связаны условием 2М² ЈЅЕЅ/e ²m_е Ј1. При равенстве, то есть когда величина момента наибольшая при фиксированной энергии, траекторией будет окружность. Чем момент меньше, тем эллипс более вытянут. Это происходит не за счет удлинения большой оси (ее длина зафиксирована значением энергии), а за счет уменьшения малой.

Последнему неравенству можно придать несколько странный вид: М² Ј ћ²(а/а _В). Боровский радиус а_В пропорционален ћ², поэтому в неравенстве фактически постоянной Планка нет. Переписанное в таком виде неравенство показывает, что момент количества движения М и постоянная Планка ћ имеют одинаковые размерности.

Пространственное квантование

Характерная черта квантовой механики - дискретность физических величин: все они меняются не плавно, а скачками. Дискретность - следствие сочетания корпускулярных и волновых свойств атомных и субатомных частиц. С одним примером дискретности мы уже знакомы: электрон в атоме водорода может иметь не любые, а только определенные (дискретные) значения энергии.

Если при классическом подходе физическая величина может иметь произвольные значения, а при квантовом - дискретные, говорят, что данная физическая величина квантуется . Момент М квантуется, но он - вектор, имеющий и величину, и определенное направление в пространстве. Квантуется не только величина вектора М, но и его направление. Отсюда название - пространственное квантование .

Пространственное квантование - одно из следствий соотношения неопределенностей Гейзенберга. Для его описания надо выбрать в пространстве направление и с ним совместить ось квантования . Слово "выбрать" не очень точно: на самом деле совершенно безразлично, куда направить ось квантования. Сила, действующая на частицу, не зависит от направления, все направления в пространстве эквивалентны, и ось квантования можно ориентировать как угодно. А если бы вектор М был классическим, то есть его свойства описывались законами ньютоновской механики, то и угол q между вектором М и осью мог быть произвольным. В квантовой механике не так.

Примем ось квантования за ось z прямоугольной (декартовой) системы координат; две другие оси - х и у; M_x, M_y, M_z= Mcosq - проекции вектора М на оси выбранной (но ориентированной произвольно) системы координат. Пространственное квантование означает, что угол qне произволен, он таков, что проекция вектора М на ось z (ось квантования) принимает целочисленные значения: M_z= -ћl, -ћ(l-1) … ћ(l-1), ћl, где l - целое число или нуль. Всего вектор М может иметь 2l + 1 проекций на ось квантования. Число l задает длину вектора М - величину момента М: М =ЅМЅ = ћ[l(l+1)]^1/2. Кроме M_z, других определенных проекций (M_x, M_y) вектор М не имеет вовсе.

С ростом числа l момент количества движения становится все более "классическим": число возможных проекций на ось z возрастает, а величина момента приближается к величине максимальной проекции (М ® ® ЅМЅ_макс ). Это простой пример принципа соответствия , согласно которому при определенных условиях формулы, полученные по законам квантовой механики, должны совпадать с формулами, полученными на основе классической механики. В данном случае эти определенные условия формулируются особенно просто: М >> ћ.

Вернемся к атому водорода. Выведенное в предыдущем разделе неравенство, которому удовлетворяют энергия и момент количества движения в квантовом случае, выглядит особенно просто: l Ј (n - 1), то есть при фиксированном числе n число l может принять n значений: 0, 1, …, (n - 1). Следовательно, в основном состоянии (n = 1) у электрона может быть только нулевой момент количества движения. Учтя, что каждому значению числа l соответствует 2l + 1 состояний (различных проекций момента М на ось квантования), нетрудно убедиться, что любому значению n соответствует n² состояний. Для дальнейшего изложения этот результат очень важен.