2.6. Обобщенные силы
В аналитической механике, наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы,
. (2.12)
Если
механическая система при наложенных
на нее голономных удерживающих h
связях имеет s
=3n - h
степеней
свободы,
то ее положение определяется обобщенными
координатами
(i
= s)
и (2.11), а виртуальное перемещение k-й
точки
;
.
Подставляя
в формулу для виртуальной работы сил
(2.12), получаем
. (2.13)
Скалярную величину
(2.14)
называют обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате.
Подставляя (2.14) в (2.13), получаем формулу для виртуальной работы
. (2.15)
Обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется множитель при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.
Виртуальная работа определяется от задаваемых активных сил, независящих от ограничений, и реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость Tj от Nj (Tj – это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).
В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из формулировки следует, что обобщенная сила – скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.
Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 2.9), за обобщенную координату можно принять: либо q = s перемещение центра масс диска, либо q = угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то в первом случае обобщенной силой будет Qs = mg sin, а во втором Q = mg r sin.
О
Рис. 2.9
Существуют различные способы вычисления обобщенных сил.
1. Согласно (2.14) , обобщенная сила
=
.
Принимая
во внимание, что
,
получаем
. (2.16)
Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.
Пример
2.11.
Найти обобщенную силу Qq=
, если в
кривошипно-ползунном механизме (рис.
2.10) OA=AB=
l,
– вертикальная,
а
– горизонтальная
силы.
Решение. Так как F1x=0 и F2y=0, то обобщенная сила согласно (2.16)
.
Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как F1y= F1; F2x= F2; yA = l sin ; xB = 2l cos. Следовательно, Qq= = F1l cos + 2F2l sin.
Рис. 2.10
2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной силы. Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k 1 целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации тоже не зависят друг от друга. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.15) получаем
. (2.17)
Индекс qi в (2.17) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной i-й обобщенной координаты.
Пример
2.12. Найти
обобщенные силы
и
для системы (рис. 2.11). Масса груза 1
равна m1,
масса цилиндра
2 равна
m2,
а его радиус
r.
Нить по блоку
3
и цилиндру 2
не скользит. Центр масс цилиндра 2
движется вдоль вертикали.
Решение. Для определе-ния обобщенной силы зададим приращение s 0 координате груза 1, а для угла поворота цилиндра 2, будем считать =const, т.е. =0. При этом центр масс цилиндра 2 будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,
Рис. 2.11
где P1 =m1 g; P2 =m2 g .
Определяя , будем полагать, что s=0, а 0. Тогда
.
3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных сил можно использовать силовую функцию U или потенциальную энергию П системы.
Потенциальная сила
Подставляя
проекции силы
в (2.17) , получаем
Так как U = П , то
(2.18)
Пример 2.13. В системе, показанной на рис. 2.12 , массы груза 1 и цилиндра 2 равны m1 и m2 соответственно, радиус цилиндра r, а коэффициент жесткости пружины с1 .
Рис. 2.12
Полагая, что трение между грузом и наклонной плоскостью отсутствует, а траектория точки С – центра масс цилиндра – вертикаль, найти обобщенные силы и , если при s =0 пружина не деформирована.
Решение. Потенциальная энергия системы
.
Обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам:
